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Konkav: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:16 Sa 06.02.2016
Autor: JXner

Aufgabe
Folgende Funktion ist gegeben:
f(x) = [mm] xe^{\bruch{3-x^2}{2}} [/mm]
f''(x) = [mm] (-3x+x^3)*e^{\bruch{3-x^2}{2}} [/mm]

Nun wird gefragt ob die Funktion im Intervall [-4;2] konkav ist.

Lösungsansatz:

f''(x) < 0
= [mm] (-3x+x^3)<0 [/mm]
= [mm] x(-3+x^2)<0 [/mm]
= ((x>0) [mm] \wedge (x^2-3)<0) \vee [/mm] ((x<0) [mm] \wedge (x^2-3)>0) [/mm]

Guten Morgen beisammen,

Meine Frage bzgl. der Aufgabe besteht in der Letzten Zeile des Lösungsweges.
Mir sind die ">" und "<" nicht ganz ersichtlich.

Warum ist x einmal > 0 und einmal < 0?
Warum ist der Term [mm] (x^2-3) [/mm] einmal < 0 und einmal > 0?

Grüße


Joschua

        
Bezug
Konkav: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:36 Sa 06.02.2016
Autor: M.Rex

Hallo

> Folgende Funktion ist gegeben:
> f(x) = [mm]xe^{\bruch{3-x^2}{2}}[/mm]
> f''(x) = [mm](-3x+x^3)*e^{\bruch{3-x^2}{2}}[/mm]

>

> Nun wird gefragt ob die Funktion im Intervall [-4;2] konkav
> ist.

>

> Lösungsansatz:

>

> f''(x) < 0
> = [mm](-3x+x^3)<0[/mm]
> = [mm]x(-3+x^2)<0[/mm]
> = ((x>0) [mm]\wedge (x^2-3)<0) \vee[/mm] ((x<0) [mm]\wedge (x^2-3)>0)[/mm]

>

> Guten Morgen beisammen,

>

> Meine Frage bzgl. der Aufgabe besteht in der Letzten Zeile
> des Lösungsweges.
> Mir sind die ">" und "<" nicht ganz ersichtlich.

>

> Warum ist x einmal > 0 und einmal < 0?
> Warum ist der Term [mm](x^2-3)[/mm] einmal < 0 und einmal > 0?

Du hast ja ein Produnkt mit den beiden Faktoren x und x²-3.
Dieses Produkt ist negativ, wenn ein Faktor positiv ist, der andere aber negativ. Also in folgenden beiden Fällen:
Fall 1: x>0 und x²-3<0
Fall 2: x<0 und x²-3>0

Fall 1 ist erfüllt für [mm] 0 Fall 2 ist erfüllt für [mm] x<-\sqrt{3} [/mm]

>

> Grüße

>
>

> Joschua

Marius

Bezug
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