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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 Do 08.07.2010 | | Autor: | HansM24 |
| Aufgabe | Gegeben sei ein Anfangswertproblem:
x'(t) = f(t, x(t))
[mm] x(t_0) [/mm] = [mm] x_0
[/mm]
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Beispiel: Gestörtes Euler-Verfahren zur Lösung von AWP
Ein (gestörter) Eulerschritt ist definiert als (z.b.: [mm] \alpha [/mm] = 0.9):
[mm] x_{k+1} [/mm] = [mm] x_{k} [/mm] + [mm] h\alpha f(t_{k}, x_{k})
[/mm]
Das ist schön; das kann man sich auch aufzeichnen, als Graph mit Trajektorie und einer Tangente etc... bekannt.
Nun ein "alternatives Verfahren", definiert wie folgt:
[mm] x_{k+1} [/mm] = [mm] x_{k} [/mm] + [mm] h\alpha f(t_{k}, x_{k}) [/mm] + h
Warum "+h"? Sieht unsinnig aus? Ist es auch, aber WARUM?
Auch für dieses Verfahren gilt, dass der lokale Fehler für h [mm] \to [/mm] 0 gegen 0 geht. Somit Konsistenz? Es folgt Konvergenz?
Kann mir jemand sagen, wie ich dieses Verfahren MATHEMATISCH als Unsinn erkennen kann?
Zwar ist die "Störung" h wohl im Rahmen des Fehlers, welchen das Verfahren ohnehin hat. Wählt man aber Beispielsweise f(t, x) = c (konstant) wäre das original Euler-Verfahren ja EXAKT, das oben genannte mit [mm] \alpha [/mm] -gestörte Verfahren aber nicht! (Taylorentw. und Koeff.-Vergleich)
Für f(t, x) = 0 (konstant) allerdings, wäre es aber EXAKT, mein alternatives Verfahren aber nicht, sondern hätte Fehler = h.
Im Verhältnis zur Änderung 0 ist das Verfahren mit Fehler h ja exorbitant schlecht. Wie kann man das mathem. darstellen? (Im Vergleich zum [mm] \alpha-gestoerten [/mm] Euler?)
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand eine Argumentation geben könnte, warum die oben genannten Verfahren 'unterschiedlich schlecht' sind!
Dankeschön.
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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Ohne das jetzt selbst gerechnet zu haben, würde ich sagen das was zu tun ist, ist den diskretisierungsfehler abzuschätzen.
also || y - [mm] y_{h} [/mm] ||, wobei y das echte y ist, und [mm] y_{h} [/mm] das diskretisierte y, erstmal für einen beliebigen Schritt j.
(ohne das jetzt gemacht zu haben) wird wohl das zusätzliche h infolge der Dreiecksungleichung als zusätzlicher Faktor auf der rechten Seite in der Abschätzung auftauchen.
Den Diskretisierungsfehler kannst du dann "iterativ" zurückrechnen, sodass du den Fehler ab der Anfangsbedingung zum Schritt j hast, wenn du willst.
Das kannst du für beide Verfahren machen und dann Vergleichen. Du kannst allerdings auch den letzten Schritt weglassen und direkt die Diskretisierungsfehler betrachten...dsa sollte eigentlich dieselbe Erkenntnis liefern =D
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