Konsistenzbeweis Runge-Kutta < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass folgendes implizites Runge-Kutta-Verfahren der Stufe m=2 für die Anfangswertaufgabe u'(t)=f(t,u) [mm] t\ge t_0, u(t_0)=u_0, [/mm] die Konsistenzordnung p=2 hat:
0 | [mm] \bruch{1}{2}\quad -\bruch{1}{2}
[/mm]
1 | [mm] \bruch{1}{2}\quad \bruch{1}{2}
[/mm]
---------------------
| [mm] \bruch{1}{2}\quad \bruch{1}{2} [/mm] |
>>Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: wer-weiss-was.de<<
Welche Ansätze gibt es hier?
Ich habe schon probiert mit einer Taylorentwicklung zu arbeiten, nur leider kommt hinterher nicht raus [mm] \tau_h(t)=O(h^2), [/mm] wobei [mm] \tau_h [/mm] den Abschneidefehler bezeichnet. Ich behalte immer noch zwei Summanden mit f.
Kann mir jemand helfen?
Danke schon mal im Voraus,
nicole16986
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:13 Do 28.08.2008 | | Autor: | Max1603 |
> 0 | [mm]\bruch{1}{2}\quad -\bruch{1}{2}[/mm]
> 1 | [mm]\bruch{1}{2}\quad \bruch{1}{2}[/mm]
> ---------------------
> | [mm]\bruch{1}{2}\quad \bruch{1}{2}[/mm]
ich weiß jetzt nicht was ihr in der Vorlesung gemacht habt, aber man kann die Ordnung der Konsistenz bereits an dem obigen Tableau ablesen.
da z. B. bei dem unteren Vektor [mm] b:=(\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}) [/mm] durch Addition der
Komponenten eins ergibt ist das Verfahren konsistent der ordnung ein.
da aber auch für c:=(0,1) und b "ausmultipliziert"(Skalarprodukt) 0,5 ergibt hat das Verfahren mind. die Konsistenzordung zwei!!
ist gibt noch viel mehr dieser Feststellungen!!!
Wenn ihr das nicht gemacht habt, dann Thaylor, sonst sehe ich keine andere Möglichkeit.
Mach doch ein Vorschlag, dann gucke ich es mir an :))
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Hallo,
das Problem ist, dass ich dieses Problem im Rahmen einer Seminararbeit bearbeiten muss und wir in der Vorlesung solche "Feststellungen" leider nur für m=2 und p=3 aufgeschrieben hatten, ich hab mal mit Taylor allgemein probiert, solche Gleichungen auch für p=2 aufzustellen, aber ich glaube, das ist falsch.
Folgendes hab ich gemacht:
Begriffe:
[mm] a)\tau_h(t)=\frac{1}{h}(u_h(t+h)-u_h(t))-f_h(t,u(t)),\ t\in [/mm] I'_h heißt Abschneidefehler zum Einschrittverfahren
[mm] u_h(t+h(t))=u_h(t)+h(t)f_h(t,u_h(t)) [/mm] mit der Verfahrensfunktion [mm] f_h [/mm] und nicht notwendigerweise äquidistanter Schrittweite h=h(t)
b) [mm] v_n^+ =\lim_{t\downarrow t_n} [/mm] v, [mm] \quad v_n^- =\lim_{t\uparrow t_n} [/mm] v
c) U ist die numerische Lösung mit Galerkin-Verfahren für obiges AWP (in der Aufgabe geht es darum, dass sich das Galerkin-Verfahren für einfache Probleme auf Einschrittverfahren wie das Runge-Kutta reduziert, daher die komische Bezeichnung)
Mein Vorgehen:
1) z.z.: [mm] \tau [/mm] _h (t)= O [mm] (h^2) [/mm]
Bew.:
[mm] \tau_h(t) [/mm] = [mm] \frac{1}{h_n}(U_n^- -U_{n-1}^-) [/mm]
[mm] \quad-\frac{1}{2}\Bigl[\Bigl( f(t_{n-1}, U_{n-1}^- +\frac{h_n}{2}f(t_{n-1},U_{n-1}^+) -\frac{h_n}{2}f(t_n,U_n^-)) [/mm]
[mm] \quad+ f(t_{n}, U_{n-1}^- +\frac{h_n}{2}f(t_{n-1},U_{n-1}^+) +\frac{h_n}{2}f(t_n,U_n^-)) \Bigr)\Bigr]\quad\tag{A}
[/mm]
[mm] \text{mit (Taylor) }\frac{1}{h_n}(U_n^- -U_{n-1}^-) ={U'}_{n-1}^- [/mm] + [mm] \frac{h_n}{2}{U''}_{n-1}^- [/mm] + [mm] O(h^2),\;\text{für } U\in C^3, f\in C^2 [/mm]
[mm] \text{und } {U'}_{n-1}^- =f(t_{n-1},U_{n-1}^-),\, {U''}_{n-1}^- =\frac{d}{dt}f(t_{n-1},U_{n-1}^-)= (f_t [/mm] + [mm] f_U f)(t_{n-1},U_{n-1}^-)
[/mm]
Mittels Taylorentwicklung erhalten wir für f:
[mm] f(t_{n-1}, U_{n-1^-} +\frac{h_n}{2}f(t_{n-1},U_{n-1}^+) -\frac{h_n}{2}f(t_n,U_n^-))
[/mm]
[mm] =f(t_{n-1},U_{n-1}^-) [/mm] + [mm] \left\langle grad f, \left(0, \frac{h_n}{2}[f(t_{n-1},U_{n-1}^-)-f(t_{n},U_{n}^-)]\right)^T \right\rangle
[/mm]
= [mm] f(t_{n-1},U_{n-1}^-) [/mm] + [mm] f_U\cdot\frac{h_n}{2}[f(t_{n-1},U_{n-1}^-)-f(t_{n},U_{n}^-)]
[/mm]
[mm] f(t_{n}, U_{n-1^-} +\frac{h_n}{2}f(t_{n-1},U_{n-1}^+) +\frac{h_n}{2}f(t_n,U_n^-))
[/mm]
[mm] =f(t_{n-1},U_{n-1}^-) [/mm] + [mm] \left\langle grad f, \left(h_n, \frac{h_n}{2}[f(t_{n-1},U_{n-1}^-)+f(t_{n},U_{n}^-)]\right)^T \right\rangle
[/mm]
= [mm] f(t_{n-1},U_{n-1}^-) [/mm] + [mm] f_t h_n [/mm] + [mm] f_U\cdot\frac{h_n}{2}[f(t_{n-1},U_{n-1}^-)+f(t_{n},U_{n}^-)]
[/mm]
Einsetzen in (A) liefert:
[mm] \tau_h(t) [/mm] = [mm] f(t_{n-1},U_{n-1}^-) [/mm] + [mm] \frac{h_n}{2}(f_t [/mm] + [mm] f_u f)(t_{n-1},U_{n-1}^-)+ O(h^2)
[/mm]
[mm] -\frac{1}{2}f(t_{n-1},U_{n-1}^-)-\frac{1}{2}\frac{h_n}{2}f_U[f(t_{n-1},U_{n-1}^-)-f(t_{n},U_{n}^-)]\\
[/mm]
- [mm] \frac{1}{2}f(t_{n-1},U_{n-1}^-) [/mm] - [mm] \frac{h_n}{2}f_t [/mm] - [mm] \frac{1}{2}\frac{h_n}{2}f_U[f(t_{n-1},U_{n-1}^-)+f(t_{n},U_{n}^-)]
[/mm]
= [mm] \frac{h_n}{2}f_U f(t_{n-1},U_{n-1}^-)- \frac{h_n}{2}f_U f(t_{n-1},U_{n-1}^+) [/mm] + [mm] O(h^2)
[/mm]
[mm] \neq O(h^2)\quad???
[/mm]
oder
2)Wir leiten zunächst Bedingungen für die acht Koeffizienten [mm] \alpha_i, \beta_{i1}, \beta_{i2},\gamma_i,\, [/mm] i=1,2 her für das allgemeine zweistufige Runge-Kutta-Verfahren
[mm] k_1(t,y)=f(t+\alpha_1 [/mm] h, y+ [mm] h(\beta_{11}k_1+\beta_{12}k_2)(t,y))
[/mm]
[mm] k_2(t,y)=f(t+\alpha_2 [/mm] h, y+ [mm] h(\beta_{21}k_1+\beta_{22}k_2)(t,y))
[/mm]
[mm] U_n^- [/mm] = [mm] U_{n-1}^- [/mm] + [mm] h(\gamma_1 k_1+\gamma_2 k_2)(t,U_{n-1}^-)
[/mm]
Der Einfachheit halber wählen wir folgende Bezeichnungen [mm] U_n^- =u_h(t+h_n),\, U_{n-1}^- =u_h(t).
[/mm]
Durch Taylorentwicklung erhalten wir dann:
[mm] \frac{1}{h}(U(t+h_n) [/mm] + U(t)) = [mm] U'(t)+\frac{h}{2}U''(t)+O(h^2) [/mm]
= [mm] f(t,y)+\frac{h}{2}(f_t+f_y f)(t,y)+O(h^2)
[/mm]
[mm] k_1=f(t+\alpha_1 [/mm] h, y + [mm] h(\beta_{11}k_1 [/mm] + [mm] \beta_{12}k_2)(t,y)),\quad \underline{h}_1=h\left(\alpha_1, \beta_{11}k_1 + \beta_{12} k_2)\right)^T
[/mm]
= f(t,y) + [mm] \langle [/mm] grad f(t,y), [mm] \underline{h}_1\rangle [/mm] + [mm] O(h^2)
[/mm]
= f(t,y) + h [mm] \alpha_1 f_y(t,y) [/mm] + h [mm] f_y(\beta_{11}k_1 [/mm] + [mm] \beta_{12} k_2) [/mm] (t,y) + [mm] O(h^2)
[/mm]
[mm] k_2 [/mm] = f(t,y) + h [mm] \alpha_2 f_y(t,y) [/mm] + h [mm] f_y(\beta_{21}k_1 [/mm] + [mm] \beta_{22} k_2) [/mm] (t,y) + [mm] O(h^2)\quad\text{analog}
[/mm]
Für den Abschneidefehler ergibt sich nun:
[mm] \tau_h(t) [/mm] = [mm] \frac{1}{h}(U(t+h)-U(t))-(\gamma_1 k_1 [/mm] + [mm] \gamma_2 k_2)(t,y)
[/mm]
=f(t,y) - [mm] \frac{h}{2}(f_t [/mm] + f [mm] f_y)(t,y)+O(h^2)
[/mm]
- [mm] \gamma_1 f(t,y)-h\gamma_1 \alpha_1 f_t [/mm] - [mm] \gamma_1\beta_{11} [/mm] h [mm] f_y k_1 [/mm] - [mm] \gamma_1\beta_{12} [/mm] h [mm] f_y k_2
[/mm]
- [mm] \gamma_2 f(t,y)-h\gamma_2 \alpha_2 f_t [/mm] - [mm] \gamma_2\beta_{21} [/mm] h [mm] f_y k_1 [/mm] - [mm] \gamma_2\beta_{22} [/mm] h [mm] f_y k_2 \stackrel{!}{=} O(h^2)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f(t,y) - [mm] (\gamma_1 +\gamma_2)f(t,y) [/mm] + h [mm] f_t (\frac{1}{2}-\gamma_1\alpha_1-\gamma_2\alpha_2)+\frac{h}{2}f_y [/mm] f
- h [mm] k_1f_y(\gamma_1\beta_{11}+\gamma_2\beta_{21})-h k_2f_y(\gamma_1\beta_{12}+\gamma_2\beta_{22})=0
[/mm]
Koeffizientenvergleich liefert die zwei Gleichungen:
[mm] \gamma_1+\gamma_2 =1\quad\tag{1},
[/mm]
[mm] \gamma_1\alpha_1+\gamma_2\alpha_2=\frac{1}{2}\quad\tag{2}
[/mm]
Von der Gleichung bleibt somit übrig:
h [mm] f_y \left( \frac{f}{2} - k_1(\gamma_1\beta_{11} +\gamma_2\beta_{21} - k_2(\gamma_1\beta_{12} +\gamma_2\beta_{22}\right)=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \frac{f}{2} [/mm] - [mm] k_1(\gamma_1\beta_{11} +\gamma_2\beta_{21}) [/mm] - [mm] k_2(\gamma_1\beta_{12} +\gamma_2\beta_{22})=0 \quad |\text{Taylor für }k_1,\, k_2 [/mm]
[mm] \Rightarrow \frac{f}{2} [/mm] -(f(t,y) + h [mm] \alpha_1 f_y(t,y) [/mm] + h [mm] f_y(\beta_{11}k_1 [/mm] + [mm] \beta_{12} k_2) (t,y))(\gamma_1\beta_{11} +\gamma_2\beta_{21})
[/mm]
- (f(t,y) + h [mm] \alpha_2 f_y(t,y) [/mm] + h [mm] f_y(\beta_{21}k_1 [/mm] + [mm] \beta_{22} k_2) (t,y))(\gamma_1\beta_{12} +\gamma_2\beta_{22})=0
[/mm]
Durch Koeffizientenvergleich von f erhält man:
[mm] \gamma_1(\beta_{11}+\beta_{12})+\gamma_2(\beta_{21}+\beta_{22}) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}\quad\tag{3}
[/mm]
Von der Gleichung bleibt übrig:
[mm] [\alpha_1 f_t [/mm] + [mm] f_y(\beta_{11}k_1+ \beta_{12}k_2)](\gamma_1\beta_{11}+\gamma_2\beta_{21})
[/mm]
+ [mm] [\alpha_2 f_t [/mm] + [mm] f_y(\beta_{21}k_1+ \beta_{22}k_2)](\gamma_1\beta_{12}+\gamma_2\beta_{22})=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \alpha_1(\gamma_1\beta_{11}+\gamma_2\beta_{21})=\alpha_2(\gamma_1\beta_{12}+\gamma_2\beta_{22})\quad\tag{4}
[/mm]
Es bleibt übrig:
[mm] (\beta_{11}k_1+\beta_{12}k_2)(\gamma_1\beta_{11}+\gamma_2\beta_{21})+(\beta_{21}k_1+\beta_{22}k_2)(\gamma_1\beta_{12}+\gamma_2\beta_{22})=0\\
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow k_1[\gamma_1\beta_{11}^2 [/mm] + [mm] \beta_{11}\gamma_2\beta_{21} [/mm] + [mm] \beta_{21}\gamma_1\beta_{12} [/mm] + [mm] \gamma_2\beta_{21}\beta_{22}]
[/mm]
[mm] +k_2[\gamma_2\beta_{22}^2 [/mm] + [mm] \beta_{12}\gamma_2\beta_{21} [/mm] + [mm] \beta_{11}\gamma_1\beta_{12} [/mm] + [mm] \gamma_1\beta_{12}\beta_{22}]=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \gamma_1(\beta_{11}^2+\beta_{12}\beta_{21})+\gamma_2(\beta_{11}\beta_{21}+\beta_{21}\beta_{22})=0\quad \tag{5}
[/mm]
[mm] \quad \gamma_1(\beta_{11}\beta_{12}+\beta_{12}\beta_{22})+\gamma_2(\beta_{12}\beta_{21}+\beta_{22}^2)=0 \quad \tag{6}
[/mm]
Der Beweis ergibt sich dann durch nachrechnen der Gleichungen.
Irgendwie sieht das untere so zurecht gefuckelt aus, daher weiß ich nicht, ob das so geht.
nicole16986
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