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Konsistenzordnung Eulerverf.: Taylorentwicklung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:12 So 18.01.2015
Autor: SusanneK

Aufgabe
Zeigen Sie, dass das verbesserte Eulerverfahren die Konsistenzordnung 2 besitzt, falls f 2x und y 3x stetig diff.bar sind.

Hallo,
mit diesem Thema tue ich mich leider sehr schwer.
Mein Ansatz ist folgender:
Die Verfahrensfunktion lautet [mm] \Phi(t,u,\tau)=f(t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u))[/mm]
Die Taylorentwicklung ist
[mm]y(t+\tau)=y(t)+\tau y'(t)+\frac{\tau^2}{2}y''(t)+\frac{\tau^3}{6}y'''(t+\xi)[/mm]

Die Ableitungen der Verfahrensfunktion lauten
[mm]\Phi'=f_t(t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u))+f_y(t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u))f(t,u)[/mm]
[mm]\Phi''=f_{tt}(t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u))+2f_{ty} (t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u))f(t,u)+f_{yy}(t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u))(f(t,u))^2[/mm]

Stimmt das ?

Jetzt muss ich irgend etwas machen für [mm]\tau=0[/mm], aber dieses komplette Verfahren verstehe ich leider nicht.
Kann mir das bitte jemand erklären ?

Danke im Voraus,
Susanne        

        
Bezug
Konsistenzordnung Eulerverf.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:18 So 18.01.2015
Autor: MathePower

Hallo SusanneK,

> Zeigen Sie, dass das verbesserte Eulerverfahren die
> Konsistenzordnung 2 besitzt, falls f 2x und y 3x stetig
> diff.bar sind.
>  Hallo,
>  mit diesem Thema tue ich mich leider sehr schwer.
>  Mein Ansatz ist folgender:
>  Die Verfahrensfunktion lautet
> [mm]\Phi(t,u,\tau)=f(t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u))[/mm]
>  
> Die Taylorentwicklung ist
>  [mm]y(t+\tau)=y(t)+\tau y'(t)+\frac{\tau^2}{2}y''(t)+\frac{\tau^3}{6}y'''(t+\xi)[/mm]

>


Führe die Ableitungen  noch genauer aus.

Ausgehend von der Gleichung

[mm]y'\left(t\right)=f\left( \ t, \ y\left(t\right) \ \right)[/mm]

kannst Du diese Ableitungen bestimmen.


> Die Ableitungen der Verfahrensfunktion lauten
>  [mm]\Phi'=f_t(t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u))+f_y(t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u))f(t,u)[/mm]
>  
> [mm]\Phi''=f_{tt}(t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u))+2f_{ty} (t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u))f(t,u)+f_{yy}(t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u))(f(t,u))^2[/mm]
>  
> Stimmt das ?
>  


Leider nein.

Die Verfahrensfunktion ist um den Entwicklungspunkt (t,u)
in eine Taylorreihe zu entwickeln.


> Jetzt muss ich irgend etwas machen für [mm]\tau=0[/mm], aber dieses
> komplette Verfahren verstehe ich leider nicht.
>  Kann mir das bitte jemand erklären ?
>  
> Danke im Voraus,
>  Susanne          


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Konsistenzordnung Eulerverf.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:01 So 18.01.2015
Autor: SusanneK

Hallo MathePower,
vielen Dank für Deine Antwort !

> Die Taylorentwicklung ist  
> [mm]y(t+\tau)=y(t)+\tau y'(t)+\frac{\tau^2}{2}y''(t)+\frac{\tau^3}{6}y'''(t+\xi)[/mm]
>


Die genauere Ableitung mit [mm]y'=f(t,y(t))[/mm] ist dann (ich schreibe für [mm]f(t,y(t)[/mm] nur [mm]f[/mm])
[mm]y(t+\tau)=y(t)+\tau f+\frac{\tau^2}{2}[f_t+f_yf]+\frac{\tau^3}{6}[f_{tt}+2f_{ty}f+f_tf_y+ff_y^2+f_{yy}f^2][/mm]
So ?
Was ich am Ende mit dem Argument [mm](t+\xi)[/mm] machen muss, weiß ich nicht - wird das einfach zu diesem Restfehler [mm]O(\tau^3)[/mm] ?


>  
> Die Verfahrensfunktion ist um den Entwicklungspunkt (t,u)
>  in eine Taylorreihe zu entwickeln.

Tut mir leid, genau das verstehe ich überhaupt nicht.
Kannst Du mir das bitte zeigen, was hier zu tun ist, vielleicht verstehe ich es dann ?

LG und danke, Susanne



Bezug
                        
Bezug
Konsistenzordnung Eulerverf.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:22 So 18.01.2015
Autor: MathePower

Hallo  SusanneK,

> Hallo MathePower,
>  vielen Dank für Deine Antwort !
>  
> > Die Taylorentwicklung ist  
> > [mm]y(t+\tau)=y(t)+\tau y'(t)+\frac{\tau^2}{2}y''(t)+\frac{\tau^3}{6}y'''(t+\xi)[/mm]
> >
>
>
> Die genauere Ableitung mit [mm]y'=f(t,y(t))[/mm] ist dann (ich
> schreibe für [mm]f(t,y(t)[/mm] nur [mm]f[/mm])
>  [mm]y(t+\tau)=y(t)+\tau f+\frac{\tau^2}{2}[f_t+f_yf]+\frac{\tau^3}{6}[f_{tt}+2f_{ty}f+f_tf_y+ff_y^2+f_{yy}f^2][/mm]
>  
> So ?


Ja. [ok]


>  Was ich am Ende mit dem Argument [mm](t+\xi)[/mm] machen muss,
> weiß ich nicht - wird das einfach zu diesem Restfehler
> [mm]O(\tau^3)[/mm] ?
>  


Ja. Dann brauchst Du in der Entwickung von y
die 3. Ableitung nicht.


> >  

> > Die Verfahrensfunktion ist um den Entwicklungspunkt (t,u)
>  >  in eine Taylorreihe zu entwickeln.
>  
> Tut mir leid, genau das verstehe ich überhaupt nicht.
>  Kannst Du mir das bitte zeigen, was hier zu tun ist,
> vielleicht verstehe ich es dann ?
>  

[mm] f(t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u)) = f\left(t.u\right)+ \bruch{\tau}{2}*f_{t}\left(t.u\right)+ \bruch{\tau}{2}*f\left(t.u\right)*f_{u}\left(t,u\right) + \ ... [/mm]


> LG und danke, Susanne
>  


Gruss
MathePower  

Bezug
                                
Bezug
Konsistenzordnung Eulerverf.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:51 So 18.01.2015
Autor: SusanneK


>  >  
> > > Die Taylorentwicklung ist  
> > > [mm]y(t+\tau)=y(t)+\tau y'(t)+\frac{\tau^2}{2}y''(t)+\frac{\tau^3}{6}y'''(t+\xi)[/mm]
> > >
> >
> >
> > Die genauere Ableitung mit [mm]y'=f(t,y(t))[/mm] ist dann (ich
> > schreibe für [mm]f(t,y(t)[/mm] nur [mm]f[/mm])
>  >  [mm]y(t+\tau)=y(t)+\tau f+\frac{\tau^2}{2}[f_t+f_yf]+\frac{\tau^3}{6}[f_{tt}+2f_{ty}f+f_tf_y+ff_y^2+f_{yy}f^2][/mm]
>  
> >  

> > So ?
>  
>
> Ja. [ok]
>  

Danke !

>
> >  Was ich am Ende mit dem Argument [mm](t+\xi)[/mm] machen muss,

> > weiß ich nicht - wird das einfach zu diesem Restfehler
> > [mm]O(\tau^3)[/mm] ?
>  >  
>
>
> Ja. Dann brauchst Du in der Entwickung von y
> die 3. Ableitung nicht.
>  
>
> > >  

> > > Die Verfahrensfunktion ist um den Entwicklungspunkt (t,u)
>  >  >  in eine Taylorreihe zu entwickeln.
>  >  
> > Tut mir leid, genau das verstehe ich überhaupt nicht.
>  >  Kannst Du mir das bitte zeigen, was hier zu tun ist,
> > vielleicht verstehe ich es dann ?
>  >  
>
> [mm]f(t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u)) = f\left(t.u\right)+ \bruch{\tau}{2}*f_{t}\left(t.u\right)+ \bruch{\tau}{2}*f\left(t.u\right)*f_{u}\left(t,u\right) + \ ...[/mm]
>  

Dann probiere ich mal weiter
...[mm]\frac{1}{2}\frac{\tau^2}{4}[f_{tt}+2f_{tu}f+f_tf_u+ff_u^2+f_{uu}f^2]+O(\tau^3)[/mm]  

Für das [mm]\tau[/mm] in [mm]y(t+\tau)[/mm] in der Formel oben setze ich hier [mm]\frac{1}{2}\tau[/mm] und [mm]y(t)[/mm] wird [mm]f(t,u)[/mm], [mm]f(t,u)[/mm] wird partiell abgeleitet usw.
So ?

[mm]y(t+\tau)=y(t)+\tau y'(t)+..[/mm] ist die allgemeine Taylorentwicklungsformel - oder ?
Und diese Art der Entwicklung muss ich jetzt mit der Verfahrensfunktion durchführen.
So ?

Wie komme ich dann auf die Konsistenzordnung ?
In meinem Skript steht
[mm]\eta(t,\tau)=y(t+\tau)-y(t)-\tau\Phi(t,u,\tau)\leq C \tau^{p+1}[/mm]
mit Konsistenzordnung p.
  
Also
[mm]y(t+\tau)-y(t)-\tau[f+\frac{\tau}{2}f_t+\frac{\tau}{2}f_uf+\frac{\tau^2}{8}[f_{tt}+2f_{tu}f+f_tf_u+ff_u^2+f_{uu}f^2]+O(\tau^3)][/mm]
So ?

LG und danke, Susanne



Bezug
                                        
Bezug
Konsistenzordnung Eulerverf.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:51 Mo 19.01.2015
Autor: MathePower

Hallo SusanneK,

> >  >  

> > > > Die Taylorentwicklung ist  
> > > > [mm]y(t+\tau)=y(t)+\tau y'(t)+\frac{\tau^2}{2}y''(t)+\frac{\tau^3}{6}y'''(t+\xi)[/mm]
> > > >
> > >
> > >
> > > Die genauere Ableitung mit [mm]y'=f(t,y(t))[/mm] ist dann (ich
> > > schreibe für [mm]f(t,y(t)[/mm] nur [mm]f[/mm])
>  >  >  [mm]y(t+\tau)=y(t)+\tau f+\frac{\tau^2}{2}[f_t+f_yf]+\frac{\tau^3}{6}[f_{tt}+2f_{ty}f+f_tf_y+ff_y^2+f_{yy}f^2][/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > So ?
>  >  
> >
> > Ja. [ok]
>  >  
>
> Danke !
>  
> >
> > >  Was ich am Ende mit dem Argument [mm](t+\xi)[/mm] machen muss,

> > > weiß ich nicht - wird das einfach zu diesem Restfehler
> > > [mm]O(\tau^3)[/mm] ?
>  >  >  
> >
> >
> > Ja. Dann brauchst Du in der Entwickung von y
> > die 3. Ableitung nicht.
>  >  
> >
> > > >  

> > > > Die Verfahrensfunktion ist um den Entwicklungspunkt (t,u)
>  >  >  >  in eine Taylorreihe zu entwickeln.
>  >  >  
> > > Tut mir leid, genau das verstehe ich überhaupt nicht.
>  >  >  Kannst Du mir das bitte zeigen, was hier zu tun ist,
> > > vielleicht verstehe ich es dann ?
>  >  >  
> >
> > [mm]f(t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u)) = f\left(t.u\right)+ \bruch{\tau}{2}*f_{t}\left(t.u\right)+ \bruch{\tau}{2}*f\left(t.u\right)*f_{u}\left(t,u\right) + \ ...[/mm]
>  
> >  

>
> Dann probiere ich mal weiter
>  
> ...[mm]\frac{1}{2}\frac{\tau^2}{4}[f_{tt}+2f_{tu}f+f_tf_u+ff_u^2+f_{uu}f^2]+O(\tau^3)[/mm]
>  


Es ist hier die Taylorentwicklung gemeint:

[mm]f(t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u)) = f\left(t.u\right)+ \bruch{\tau}{2}*f_{t}\left(t.u\right)+ \bruch{\tau}{2}*f\left(t.u\right)*f_{u}\left(t,u\right) [/mm]
[mm]+ \bruch{1}{2!}.*\left(\bruch{\tau}{2}\right)^{2}*f_{tt}\left(t,u\right)+\bruch{1}{1!*1!}*\bruch{\tau}{2}*\bruch{\tau}{2}*f\left(t.u\right)*f_{tu}\left(t,u\right)+\bruch{1}{2!}.*\left(\bruch{\tau}{2}\right)^{2}*f^{2}\left(t,u\right)*f_{uu}\left(t,u\right)+O\left(\tau^{3}\right)[/mm]



>
> Für das [mm]\tau[/mm] in [mm]y(t+\tau)[/mm] in der Formel oben setze ich
> hier [mm]\frac{1}{2}\tau[/mm] und [mm]y(t)[/mm] wird [mm]f(t,u)[/mm], [mm]f(t,u)[/mm] wird
> partiell abgeleitet usw.
>  So ?
>  
> [mm]y(t+\tau)=y(t)+\tau y'(t)+..[/mm] ist die allgemeine
> Taylorentwicklungsformel - oder ?


Ja.


>  Und diese Art der Entwicklung muss ich jetzt mit der
> Verfahrensfunktion durchführen.
>  So ?
>  
> Wie komme ich dann auf die Konsistenzordnung ?
>  In meinem Skript steht
>  [mm]\eta(t,\tau)=y(t+\tau)-y(t)-\tau\Phi(t,u,\tau)\leq C \tau^{p+1}[/mm]
>  


Setze hier die beiden Entwicklungen ein.


> mit Konsistenzordnung p.
>
> Also
>  
> [mm]y(t+\tau)-y(t)-\tau[f+\frac{\tau}{2}f_t+\frac{\tau}{2}f_uf+\frac{\tau^2}{8}[f_{tt}+2f_{tu}f+f_tf_u+ff_u^2+f_{uu}f^2]+O(\tau^3)][/mm]
>  So ?
>  
> LG und danke, Susanne
>  


Gruss
MathePower  

Bezug
                                                
Bezug
Konsistenzordnung Eulerverf.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:11 Mo 19.01.2015
Autor: SusanneK

Hallo MathePower,
zuerst einmal vielen Dank für Deine Geduld und Deine Hilfe !


> > >  >  

> > > > > Die Taylorentwicklung ist  
> > > > > [mm]y(t+\tau)=y(t)+\tau y'(t)+\frac{\tau^2}{2}y''(t)+\frac{\tau^3}{6}y'''(t+\xi)[/mm]
> > > > >
> > > >
> > > >
> > > > Die genauere Ableitung mit [mm]y'=f(t,y(t))[/mm] ist dann (ich
> > > > schreibe für [mm]f(t,y(t)[/mm] nur [mm]f[/mm])
>  >  >  >  [mm]y(t+\tau)=y(t)+\tau f+\frac{\tau^2}{2}[f_t+f_yf]+\frac{\tau^3}{6}[f_{tt}+2f_{ty}f+f_tf_y+ff_y^2+f_{yy}f^2][/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > >  

> > > > So ?
>  >  >  
> > >
> > > Ja. [ok]
>  >  >  
> >
> > Danke !
>  >  


> > >
> > > [mm]f(t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u)) = f\left(t.u\right)+ \bruch{\tau}{2}*f_{t}\left(t.u\right)+ \bruch{\tau}{2}*f\left(t.u\right)*f_{u}\left(t,u\right) + \ ...[/mm]
>  
> >  

> > >  

> >
> > Dann probiere ich mal weiter
>  >  
> >
> ...[mm]\frac{1}{2}\frac{\tau^2}{4}[f_{tt}+2f_{tu}f+f_tf_u+ff_u^2+f_{uu}f^2]+O(\tau^3)[/mm]
> >  

>
>
> Es ist hier die Taylorentwicklung gemeint:
>  
> [mm]f(t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u)) = f\left(t.u\right)+ \bruch{\tau}{2}*f_{t}\left(t.u\right)+ \bruch{\tau}{2}*f\left(t.u\right)*f_{u}\left(t,u\right)[/mm]
>  
> [mm]+ \bruch{1}{2!}.*\left(\bruch{\tau}{2}\right)^{2}*f_{tt}\left(t,u\right)+\bruch{1}{1!*1!}*\bruch{\tau}{2}*\bruch{\tau}{2}*f\left(t.u\right)*f_{tu}\left(t,u\right)+\bruch{1}{2!}.*\left(\bruch{\tau}{2}\right)^{2}*f^{2}\left(t,u\right)*f_{uu}\left(t,u\right)+O\left(\tau^{3}\right)[/mm]
>  

>

Warum wird hier bei der Ableitung von [mm]\frac{\tau}{2}f_u(t,u)f(t,u)[/mm] nicht auch noch die Produktregel angewandt ?
Das wurde doch oben in der allgemeinen Taylor-Entwicklung auch gemacht - oder ?


>
>
> >
> > Für das [mm]\tau[/mm] in [mm]y(t+\tau)[/mm] in der Formel oben setze ich
> > hier [mm]\frac{1}{2}\tau[/mm] und [mm]y(t)[/mm] wird [mm]f(t,u)[/mm], [mm]f(t,u)[/mm] wird
> > partiell abgeleitet usw.
>  >  So ?
>  >  
> > [mm]y(t+\tau)=y(t)+\tau y'(t)+..[/mm] ist die allgemeine
> > Taylorentwicklungsformel - oder ?
>  
>
> Ja.
>  

Danke !

>
> >  Und diese Art der Entwicklung muss ich jetzt mit der

> > Verfahrensfunktion durchführen.
>  >  So ?
>  >  
> > Wie komme ich dann auf die Konsistenzordnung ?
>  >  In meinem Skript steht
>  >  [mm]\eta(t,\tau)=y(t+\tau)-y(t)-\tau\Phi(t,u,\tau)\leq C \tau^{p+1}[/mm]
>  
> >  

>
>
> Setze hier die beiden Entwicklungen ein.
>  

[mm]y(t+\tau)-y(t)-\tau\Phi(t,u,\tau)=\tau f(t,u)+\frac{\tau^2}{2}f_t(t,u)+\frac{\tau^2}{2}f(t,u)f_u(t,u)+O(\tau^3) - \tau f(t,u) - \frac{\tau^2}{2}f_t(t,u)-\frac{\tau^2}{2}f(t,u)f_u(t,u)[/mm]
[mm]- \frac{\tau^3}{8}f_{tt}(t,u)-\frac{\tau^3}{4}f(t,u)f_{tu}(t,u)-\frac{\tau^3}{8}f_{uu}(t,u)f^2(t,u) - O(\tau^4)=(...)\tau^3-O(\tau^4)[/mm]

So ?

LG und danke, Susanne


Bezug
                                                        
Bezug
Konsistenzordnung Eulerverf.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:05 Di 20.01.2015
Autor: MathePower

Hallo SusanneK,

> Hallo MathePower,
>  zuerst einmal vielen Dank für Deine Geduld und Deine
> Hilfe !
>  
>
> > > >  >  

> > > > > > Die Taylorentwicklung ist  
> > > > > > [mm]y(t+\tau)=y(t)+\tau y'(t)+\frac{\tau^2}{2}y''(t)+\frac{\tau^3}{6}y'''(t+\xi)[/mm]
> > > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > Die genauere Ableitung mit [mm]y'=f(t,y(t))[/mm] ist dann (ich
> > > > > schreibe für [mm]f(t,y(t)[/mm] nur [mm]f[/mm])
>  >  >  >  >  [mm]y(t+\tau)=y(t)+\tau f+\frac{\tau^2}{2}[f_t+f_yf]+\frac{\tau^3}{6}[f_{tt}+2f_{ty}f+f_tf_y+ff_y^2+f_{yy}f^2][/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > >  

> > > > >  

> > > > > So ?
>  >  >  >  
> > > >
> > > > Ja. [ok]
>  >  >  >  
> > >
> > > Danke !
>  >  >  
>
>
> > > >
> > > > [mm]f(t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u)) = f\left(t.u\right)+ \bruch{\tau}{2}*f_{t}\left(t.u\right)+ \bruch{\tau}{2}*f\left(t.u\right)*f_{u}\left(t,u\right) + \ ...[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > >  

> > >
> > > Dann probiere ich mal weiter
>  >  >  
> > >
> >
> ...[mm]\frac{1}{2}\frac{\tau^2}{4}[f_{tt}+2f_{tu}f+f_tf_u+ff_u^2+f_{uu}f^2]+O(\tau^3)[/mm]
> > >  

> >
> >
> > Es ist hier die Taylorentwicklung gemeint:
>  >  
> > [mm]f(t+\frac{\tau}{2}, u+\frac{\tau}{2}f(t,u)) = f\left(t.u\right)+ \bruch{\tau}{2}*f_{t}\left(t.u\right)+ \bruch{\tau}{2}*f\left(t.u\right)*f_{u}\left(t,u\right)[/mm]
>  
> >  

> > [mm]+ \bruch{1}{2!}.*\left(\bruch{\tau}{2}\right)^{2}*f_{tt}\left(t,u\right)+\bruch{1}{1!*1!}*\bruch{\tau}{2}*\bruch{\tau}{2}*f\left(t.u\right)*f_{tu}\left(t,u\right)+\bruch{1}{2!}.*\left(\bruch{\tau}{2}\right)^{2}*f^{2}\left(t,u\right)*f_{uu}\left(t,u\right)+O\left(\tau^{3}\right)[/mm]
>  
> >  

> >
>  
> Warum wird hier bei der Ableitung von
> [mm]\frac{\tau}{2}f_u(t,u)f(t,u)[/mm] nicht auch noch die
> Produktregel angewandt ?


Bei der Verfahrensfunktion bestehen
keinerlei Abhängigkeiten zwischen u und t.


>  Das wurde doch oben in der allgemeinen Taylor-Entwicklung
> auch gemacht - oder ?
>


Bei der Entwicklung der Lösungsfunktion in eine Taylorreihe
bestehen  Abhängigkeiten zwischen u und t  bzw. y und t.


>
> >
> >
> > >
> > > Für das [mm]\tau[/mm] in [mm]y(t+\tau)[/mm] in der Formel oben setze ich
> > > hier [mm]\frac{1}{2}\tau[/mm] und [mm]y(t)[/mm] wird [mm]f(t,u)[/mm], [mm]f(t,u)[/mm] wird
> > > partiell abgeleitet usw.
>  >  >  So ?
>  >  >  
> > > [mm]y(t+\tau)=y(t)+\tau y'(t)+..[/mm] ist die allgemeine
> > > Taylorentwicklungsformel - oder ?
>  >  
> >
> > Ja.
>  >  
>
> Danke !
>  
> >
> > >  Und diese Art der Entwicklung muss ich jetzt mit der

> > > Verfahrensfunktion durchführen.
>  >  >  So ?
>  >  >  
> > > Wie komme ich dann auf die Konsistenzordnung ?
>  >  >  In meinem Skript steht
>  >  >  [mm]\eta(t,\tau)=y(t+\tau)-y(t)-\tau\Phi(t,u,\tau)\leq C \tau^{p+1}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> >
> >
> > Setze hier die beiden Entwicklungen ein.
>  >  
>
> [mm]y(t+\tau)-y(t)-\tau\Phi(t,u,\tau)=\tau f(t,u)+\frac{\tau^2}{2}f_t(t,u)+\frac{\tau^2}{2}f(t,u)f_u(t,u)+O(\tau^3) - \tau f(t,u) - \frac{\tau^2}{2}f_t(t,u)-\frac{\tau^2}{2}f(t,u)f_u(t,u)[/mm]
>  
> [mm]- \frac{\tau^3}{8}f_{tt}(t,u)-\frac{\tau^3}{4}f(t,u)f_{tu}(t,u)-\frac{\tau^3}{8}f_{uu}(t,u)f^2(t,u) - O(\tau^4)=(...)\tau^3-O(\tau^4)[/mm]
>  
> So ?


Ja, aber nur [mm]O(\tau^3)[/mm]. [ok]


>  
> LG und danke, Susanne
>  


Gruss
MathePower

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Konsistenzordnung Eulerverf.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:02 Di 20.01.2015
Autor: SusanneK

Hallo MathePower,

> > >  

> > > [mm]+ \bruch{1}{2!}.*\left(\bruch{\tau}{2}\right)^{2}*f_{tt}\left(t,u\right)+\bruch{1}{1!*1!}*\bruch{\tau}{2}*\bruch{\tau}{2}*f\left(t.u\right)*f_{tu}\left(t,u\right)+\bruch{1}{2!}.*\left(\bruch{\tau}{2}\right)^{2}*f^{2}\left(t,u\right)*f_{uu}\left(t,u\right)+O\left(\tau^{3}\right)[/mm]
>  
> >  

> > >
>  >  
> > Warum wird hier bei der Ableitung von
> > [mm]\frac{\tau}{2}f_u(t,u)f(t,u)[/mm] nicht auch noch die
> > Produktregel angewandt ?
>  
>
> Bei der Verfahrensfunktion bestehen
> keinerlei Abhängigkeiten zwischen u und t.

Das verstehe ich leider nicht. Meinst Du damit, dass wenn sich t verändert, dass das keine Auswirkung auf u hat ?
Und wenn ich [mm]f_u(t,u)f(t,u)[/mm] nach t ableite, dann ist hier [mm]f(t,u)[/mm] eine Konstante ?

  

>
> >  Das wurde doch oben in der allgemeinen Taylor-Entwicklung

> > auch gemacht - oder ?
>  >

>
>
> Bei der Entwicklung der Lösungsfunktion in eine
> Taylorreihe
>  bestehen  Abhängigkeiten zwischen u und t  bzw. y und t.
>  
>
> >
> > > >  Und diese Art der Entwicklung muss ich jetzt mit der

> > > > Verfahrensfunktion durchführen.
>  >  >  >  So ?
>  >  >  >  
> > > > Wie komme ich dann auf die Konsistenzordnung ?
>  >  >  >  In meinem Skript steht
>  >  >  >  
> [mm]\eta(t,\tau)=y(t+\tau)-y(t)-\tau\Phi(t,u,\tau)\leq C \tau^{p+1}[/mm]
> > >
> > > Setze hier die beiden Entwicklungen ein.
>  >  >  
> >
> > [mm]y(t+\tau)-y(t)-\tau\Phi(t,u,\tau)=\tau f(t,u)+\frac{\tau^2}{2}f_t(t,u)+\frac{\tau^2}{2}f(t,u)f_u(t,u)+O(\tau^3) - \tau f(t,u) - \frac{\tau^2}{2}f_t(t,u)-\frac{\tau^2}{2}f(t,u)f_u(t,u)[/mm]
>  
> >  

> > [mm]- \frac{\tau^3}{8}f_{tt}(t,u)-\frac{\tau^3}{4}f(t,u)f_{tu}(t,u)-\frac{\tau^3}{8}f_{uu}(t,u)f^2(t,u) - O(\tau^4)=(...)\tau^3-O(\tau^4)[/mm]
>  
> >  

> > So ?
>  
>
> Ja, aber nur [mm]O(\tau^3)[/mm]. [ok]
>  

Bedeutet das, dass alle Summanden, die [mm]\tau^3[/mm] als Faktor beinhalten, und [mm]O(\tau^4)[/mm] zu [mm]O(\tau^3)[/mm] zusammengefasst werden ?
Ist das so, weil in der Vorgabe stand, dass [mm]f[/mm] 2x stetig differenzierbar ist ?
Und wenn [mm]f[/mm] 3x stetig differenzierbar gewesen wäre, dann hätte man Konsistenzordnung 3 erhalten ?

LG und danke, Susanne

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Bezug
Konsistenzordnung Eulerverf.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:08 Mi 21.01.2015
Autor: MathePower

Hallo SusanneK,

> Hallo MathePower,
>  
> > > >  

> > > > [mm]+ \bruch{1}{2!}.*\left(\bruch{\tau}{2}\right)^{2}*f_{tt}\left(t,u\right)+\bruch{1}{1!*1!}*\bruch{\tau}{2}*\bruch{\tau}{2}*f\left(t.u\right)*f_{tu}\left(t,u\right)+\bruch{1}{2!}.*\left(\bruch{\tau}{2}\right)^{2}*f^{2}\left(t,u\right)*f_{uu}\left(t,u\right)+O\left(\tau^{3}\right)[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > >
>  >  >  
> > > Warum wird hier bei der Ableitung von
> > > [mm]\frac{\tau}{2}f_u(t,u)f(t,u)[/mm] nicht auch noch die
> > > Produktregel angewandt ?
>  >  
> >
> > Bei der Verfahrensfunktion bestehen
> > keinerlei Abhängigkeiten zwischen u und t.
>  
> Das verstehe ich leider nicht. Meinst Du damit, dass wenn
> sich t verändert, dass das keine Auswirkung auf u hat ?
>  Und wenn ich [mm]f_u(t,u)f(t,u)[/mm] nach t ableite, dann ist hier
> [mm]f(t,u)[/mm] eine Konstante ?
>  


Bei der Verfahrensfunktion brauchst Du nichts abzuleiten.
Hier verwendest Du die Taylorreihe mit ihren vorgegebenen
partiellen Ableitungen.


>
> >
> > >  Das wurde doch oben in der allgemeinen Taylor-Entwicklung

> > > auch gemacht - oder ?
>  >  >

> >
> >
> > Bei der Entwicklung der Lösungsfunktion in eine
> > Taylorreihe
>  >  bestehen  Abhängigkeiten zwischen u und t  bzw. y und
> t.
>  >  
> >
> > >
> > > > >  Und diese Art der Entwicklung muss ich jetzt mit der

> > > > > Verfahrensfunktion durchführen.
>  >  >  >  >  So ?
>  >  >  >  >  
> > > > > Wie komme ich dann auf die Konsistenzordnung ?
>  >  >  >  >  In meinem Skript steht
>  >  >  >  >  
> > [mm]\eta(t,\tau)=y(t+\tau)-y(t)-\tau\Phi(t,u,\tau)\leq C \tau^{p+1}[/mm]
>  
> > > >
> > > > Setze hier die beiden Entwicklungen ein.
>  >  >  >  
> > >
> > > [mm]y(t+\tau)-y(t)-\tau\Phi(t,u,\tau)=\tau f(t,u)+\frac{\tau^2}{2}f_t(t,u)+\frac{\tau^2}{2}f(t,u)f_u(t,u)+O(\tau^3) - \tau f(t,u) - \frac{\tau^2}{2}f_t(t,u)-\frac{\tau^2}{2}f(t,u)f_u(t,u)[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > [mm]- \frac{\tau^3}{8}f_{tt}(t,u)-\frac{\tau^3}{4}f(t,u)f_{tu}(t,u)-\frac{\tau^3}{8}f_{uu}(t,u)f^2(t,u) - O(\tau^4)=(...)\tau^3-O(\tau^4)[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > So ?
>  >  
> >
> > Ja, aber nur [mm]O(\tau^3)[/mm]. [ok]
>  >  
> Bedeutet das, dass alle Summanden, die [mm]\tau^3[/mm] als Faktor
> beinhalten, und [mm]O(\tau^4)[/mm] zu [mm]O(\tau^3)[/mm] zusammengefasst
> werden ?


Ja.


>  Ist das so, weil in der Vorgabe stand, dass [mm]f[/mm] 2x stetig
> differenzierbar ist ?


Ja.


>  Und wenn [mm]f[/mm] 3x stetig differenzierbar gewesen wäre, dann
> hätte man Konsistenzordnung 3 erhalten ?
>  


So denn alle Glieder bis einschliesslich [mm]\tau^{3}[/mm] verschwinden.


> LG und danke, Susanne


Gruss
MathePower

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Konsistenzordnung Eulerverf.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:28 Mi 21.01.2015
Autor: SusanneK

Hallo MathePower,
dank Deiner tollen Hilfe wage ich mich jetzt mal an einige Aufgaben heran und hoffe, dass ich es dann kann.
Vielen, vielen Dank !!
LG, Susanne


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