Konsistenzuordnung Runge-Kutta < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:03 Mo 18.11.2013 | | Autor: | Trolli |
Hallo,
ich bin seit einer Woche krank und habe mir die Numerik Vorlesung kopieren lassen. Zu einem Thema habe ich ein paar Fragen, da die Kopie an manchen Stellen nicht gut lesbar ist.
Es geht um die Koeffizientenbestimmung expliziter Runge-Kutta-Verfahren. Einige Indexierungen sind nicht richtig zu erkennen und ich würde gerne wissen ob meine korrekt sind. Habe leider zurzeit keine Möglichkeiten meine Kommilitonen zu fragen.
Das Butcher Tableau ist wie auf Wikipedia gegeben ![[]](/images/popup.gif) Link
Hier beginnt das Skript:
Damit ein explizites RK-Verfahren für $y'=f(t,y)$ und für die autonomisierte Gleichung $y'=F(y), [mm] y=\vektor{y\\t}, F(y)=\vektor{f(t,y)\\1}$
[/mm]
äquivalent ist, muss gelten (h ist die Schrittweite):
[mm] $t_{n-1}+c_i*h=t_{n-1}+\summe_{j=1}^{i-1}a_{ij}*1$
[/mm]
d.h. [mm] $c_i=\summe_{j=1}^{i-1}a_{ij}$ [/mm] (1)
Betrachte 2-stufiges Verfahren, nur 1. Schritt:
[mm] $k_1=f(y_0)$
[/mm]
[mm] $k_2=f(y_0+ha_{21}k_1)$
[/mm]
[mm] $y_1=y_0+h(b_1k_1+b_2k_2)$
[/mm]
Taylor-Entwicklung:
[mm] $k_1=f(y_0)$
[/mm]
[mm] $k_2=f(y_0)+f_y(y_0)ha_{21}k_1+O(h^2)=f(y_0)+f_y(y_0)+ha_{21}f(y_0)+O(h^2)$
[/mm]
[mm] $y_1=y_0+h(b_1k_1+b_2k_2)=y_0+h(b_1f(y_0)+b_2(f(y_0)+f_y(y_0)+ha_{21}f(y_0)+O(h^2)))$
[/mm]
[mm] $=y_0+h(b_1+b_2)f(y_0)+h^2b_2a_{21}f_y(y_0)f(y_0)+O(h^3)$
[/mm]
Taylor für exkate Lösung:
[mm] $y(t_1)=y(t_0+h)=y(t_0)+hy'(t_0)+\frac{1}{2}h^2y''(t_0)+O(h^3)$
[/mm]
[mm] $=y(t_0)+hf(y_0)+\frac{1}{2}h^2f_y(y_0)f(y_0)+O(h^3)$
[/mm]
Betrachte für die Konsitenzordnung:
[mm] $T_1(h)=\frac{y(t_1)-y_0}{h}-\frac{y_1-y_0}{h}$
[/mm]
[mm] $=y'(t_0)+\frac{1}{2}hf_y(y_0)f(y_0)-((b_1+b_2)f(y_0)+hb_2a_{21}f_y(y_0)f(y_0))+O(h^2)$ [/mm] (2)
Bedingungen für Ordnung 2:
[mm] $b_2*a_{21}=\frac{1}{2}$
[/mm]
[mm] $b_1+b_2=1$
[/mm]
Ende Skript
Nun noch 2 Fragen. Wo ist das h bei (1) geblieben, es müsste doch noch da sein oder?
Bei (2) bin ich mir nicht sicher ob das korrekt ist. Setzt man die Bedingungen ein erhält man [mm] $y'(t_0)-f(y_0)$. [/mm] Ist dass das Ziel? Wäre nett wenn mir das jemand kurz erklären kann.
Schonmal vielen Dank für Hilfe.
Edit: [mm] $y'(t_0)$ [/mm] ist ja wieder [mm] $f(y_0)$ [/mm] oder? Dann steht ja da [mm] $T_1(h)=...=O(h^2)$ [/mm] und dadurch hat man die Ordnung 2. Ist das so gemeint?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mi 20.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
