Konstante in Stammfunktion < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Fr 29.05.2009 | | Autor: | djd92l |
| Aufgabe | | Sei zum Beispiel $$ f(x) = 1 $$ dann ist dies die Stammfunktion: $$F(x) = x + c$$ |
Hallo,
meine Frage ist nun bezogen auf das $c$, welches da hingehört, weil es ja möglicherweise nicht nur eine Stammfunktion einer Funktion gibt.
Ich wüsste gerne, wie man dieses $c$ ausrechnen kann.
Meistens ist es beim Integralausrechnen ja egal, weil man subtrahiert und es dadurch herausfällt.
Viele Grüße,
djd92l
(Habe die Frage nirgedwo anders gestellt!)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 Fr 29.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Sei zum Beispiel [mm]f(x) = 1[/mm] dann ist dies die Stammfunktion:
> [mm]F(x) = x + c[/mm]
> Hallo,
>
> meine Frage ist nun bezogen auf das [mm]c[/mm], welches da
> hingehört, weil es ja möglicherweise nicht nur eine
> Stammfunktion einer Funktion gibt.
>
> Ich wüsste gerne, wie man dieses [mm]c[/mm] ausrechnen kann.
> Meistens ist es beim Integralausrechnen ja egal, weil man
> subtrahiert und es dadurch herausfällt.
Hallo,
man kann es nicht "ausrechnen". Man kann dieses c beliebig selbst auswählen.
Ganz gleich, ob ich nun c=3, [mm] c=-\wurzel{2} [/mm] oder [mm] c=\pi [/mm] wähle:
Die Ableitung von x+3 ist 1+0=1.
Die Ableitung von [mm] x-\wurzel{2} [/mm] ist 1-0=1.
Die Ableitung von [mm] x+\pi [/mm] ist 1+0=1.
Das sind schon drei verschiedene Stammfunktionen für f(x)=1.
Je nach Wahl von c bekommst du noch unendlich viele weitere Stammfunktionen.
Gruß Abakus
>
> Viele Grüße,
> djd92l
>
> (Habe die Frage nirgedwo anders gestellt!)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Fr 29.05.2009 | | Autor: | djd92l |
Hallo,
viele Dank für deine irre schnelle Antwort  !
Klar, ich kann natürlich das c beliebig wählen, und die Ableitung bleibt trotzdem die gleiche, weil die Konstante ja "wegfällt".
D.h. Wenn ich eine Stammfunktion zu einer Funktion gefunden habe, muss ich quasi nur angeben, dass es nur *eine* der vielen Möglichen Stammfunktionen ist.
Das könnte man z.B. damit tun, dass man c fest wählt, und dieses angibt (auch bequemerweise immer 0).
Ich hab' die Frage gestellt, weil mein Übungsgruppenleiter auf den Formalismus besteht und mich das allerdings auch interessiert
Gruß,
djd92l
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Fr 29.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> viele Dank für deine irre schnelle Antwort !
>
> Klar, ich kann natürlich das c beliebig wählen, und die
> Ableitung bleibt trotzdem die gleiche, weil die Konstante
> ja "wegfällt".
>
> D.h. Wenn ich eine Stammfunktion zu einer Funktion gefunden
> habe, muss ich quasi nur angeben, dass es nur *eine* der
> vielen Möglichen Stammfunktionen ist.
> Das könnte man z.B. damit tun, dass man c fest wählt, und
> dieses angibt (auch bequemerweise immer 0).
>
> Ich hab' die Frage gestellt, weil mein Übungsgruppenleiter
> auf den Formalismus besteht und mich das allerdings auch
> interessiert
Hallo,
es ist nicht nur Formalismus.
Hat man bespielsweise in der Physik eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung, die aus der Ruhe heraus beginnt, so gilt das Weg-Zeit-Gesetz [mm] s(t)=\bruch{a}{2}t^2.
[/mm]
Durch Ableiten bekommt man das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz v(t)=s'(t)=at.
Erneutes Ableiten liefert a(t)=s''(t)=a ( konstant).
Man kann umgekehrt das letzte Gesetz zweimal integrieren:
[mm] v(t)=\integral_{}^{}{a dt}=a*t+c_1
[/mm]
Die Konstante [mm] c_1 [/mm] hat hier die Rolle einer möglichen Anfangsgeschwindigkeit [mm] v_0 [/mm] (schließlich kann man auch einen Körper beschleunigen, der schon in einer Bewegung ist.
Also: [mm] v(t)=at+v_0
[/mm]
Erneutes Integrieren liefert das allgemeine Weg-Zeit-Gesetz einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung:
[mm] s(t)=\integral_{}^{}{(at+v_0) dt}=\bruch{a}{2}t^2+v_0t+c_2.
[/mm]
Hier ist [mm] c_2 [/mm] der bis zum Zeitpunkt t=0 bereits zurückgelegte Weg [mm] s_0 [/mm] (nicht jedes Auto startet beim Kilometerstein 0).
Also: [mm] s(t)=\bruch{a}{2}t^2+v_0t+s_0.
[/mm]
Hättest du zweimal die Integrationskonstante weggelassen, könntest du nur beschleunigte Bewegungen beschreiben, die am Ort [mm] s_0=0 [/mm] mit der Anfangsgeschwindigkeit [mm] v_0=0 [/mm] beginnen.
Mit beiden Angaben kannst du auch berechnen, wo sich zur Zeit t ein Auto befindet, dass zum Zeitpunk t=0 mit einer Geschwindigkeit von 50 km/h am Kilometerstein 35,6 vorbeifährt und ab diesem Punkt eine konstante vorgegebene Beschleunigung a erfährt.
Gruß Abakus
>
> Gruß,
> djd92l
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 Fr 29.05.2009 | | Autor: | djd92l |
Hey,
ja, das macht Sinn! - Wieder was gelernt :)
Vielen Dank für deine Mühe und viele Grüße,
djd92l
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 Fr 29.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo djd92l!
Wenn Du einen konkreten Punkt der Stammfunktion $F(x)_$ gegeben hast, kannst Du die Integrationskonstante durch Einsetzen der Werte ermitteln.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:36 Fr 29.05.2009 | | Autor: | djd92l |
Hey Loddar,
super, genau das habe ich eingentlich gesucht! - Vielen Dank!
Habe es grade mal eben an einem Beispiel nachvollzogen und es klappt auch;
habe es jetzt verstanden.
Gruß,
Matthias
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