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| Aufgabe | Sei X ein topologischer Raum, eine Teilmenge heißt lokal abgeschlossenen, wenn sie Durchschnitt einer offenen und einer abgeschlossenen Menge ist, eine Teilmenge heißt konstruierbar, wenn sie Vereinigung endlich vieler lokal abgeschlossener Mengen ist.
a) Zeigen Sie, dass das Komplement einer lokal abgeschlossenen Menge konstruierbar ist und das der Durchschnitt zweier lokal abgeschlossener Mengen lokal abgeschlossen ist.
b) Zeigen Sie, sind zwei Mengen A und B konstruierbar, so sind [mm] A^{c}, A\cup [/mm] B und A [mm] \cap [/mm] B konstruierbar, die Menge aller konstruierbaren Mengen ist die kleinste Menge, die alle offenen Mengen enthält und abgeschlossen ist bezüglich Komplement, Vereinigung und Durchschnitt
c) Zeigen oder widerlegen Sie: Eine konstruierbare Menge lässt sich als Vereinigung disjunkter lokal abgeschlossener Mengen darstellen. Wenn es hilft, können Sie annehmen, dass die Topologie auf X noethersch ist.
d) Lässt sich X als endliche Vereinigung offener Mengen schreiben, so ist eine Teilmenge von X genau dann konstruierbar, wenn sie konstruierbar in allen Relativtopologien dieser offenen Mengen ist.
e) Zeigen Sie, dass das Faserprodukt noetherscher algebraischer Mannigfaltigkeiten als Teilmenge vom kartesischen Produkt konstruierbar ist. Zeige dazu zunächst, dass das Faserprodukt einen endlichen Atlas hat und wende dann d) an. |
Heyho!
So, das meiste ist hierbei ja nur nen bisschen Rumgerechne mit Mengen...
a) und b) glaube ich soweit zu haben...Bei b) zeigt man ja, dass diese konstruierbaren Mengen die kleinste Mengenalgebra bilden, die die offenen Mengen enthalten, weswegen mein Anatz bei c) ist, dass auch diese disjunkten Vereinigungen eine Mengenalgebra bilden. Dass sie die offenen Mengen umfassen ist ja klar...
Das einzige, was dabei zu zeigen ist, ist, dass die Vereingung konstruierbarer Mengen als disjunkte Vereinigung konstruierbarer Mengen geschrieben werden kann.
Ist $ [mm] E=\bigcup_{i\in I}U_{i}\cap A_{i} [/mm] $ disjunkte, endliche Vereingung lokal abgeschlossener Mengen, dann ist doch [mm] E^{c}=\bigcup_{J\subset I}(\bigcap_{i\in J}U_{i}^{c})\cap (\bigcap_{i\in I\J} A_{i}^{c})
[/mm]
Herrje, wie krieg ich das bloß disjunkt?
Ist nicht [mm] E_{1}\cup E_{2} [/mm] = [mm] (E_{1} \cap E_{2}) \cup (E_{1} \triangle E_{2}), [/mm] wobei diese Vereinigung disjunkt ist? Damit hat man doch schonmal Vereinigungsstabilität...Das kann man doch bestimmt auch auf dieses hässliche Ding da anwenden, um das disjunkt zu machen... Induktiv?
Aber ich hoffe, die Aussage stimmt überhaupt, hab im Hartshorne, ne ähnliche Aufgabe gefunden, da wird allerdings ein Zariski-Raum vorrausgesetzt, also insbesondere Noetherzität, wobei ich mich frage, wo man das brauchen könnte...
Zu d): Ja, die eine Richtung ist klar, die andere auch, oder? Ist
[mm] E\cap U_{i} [/mm] = [mm] \cup_{j=1}^{n^{i}}(U_{i}^{j}\cap U_{i})\cap (A_{i}^{j} \cap U_{i})
[/mm]
so ist [mm] E=\cup_{i} (E\cap U_{i}) [/mm] = [mm] \cup_{i}\cap_{j=1}^{n_{i}}(U_{i}^{j}\cap U_{i} \cap A_{i}^{j})
[/mm]
Die ganzen Teile, die da stehen sind ja wohl lokal abgeschlossen...
Bei e) hab ich noch keinen Ansatz, hab das Faserprodukt noch nicht so ganz verstanden...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mi 21.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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