Konstruktion abh. ZV < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:06 Mo 02.08.2010 | | Autor: | gfm |
Hallo!
Gegeben sei eine gemeinsame Verteilungsfunktion [mm] F_{(X.Y)}(x,y) [/mm] zweier reellwertiger ZV X,Y mit den Randverteilungen [mm] F_X(x)=\limes_{y\to\infty}F_{(X.Y)}(x,y) [/mm] und [mm] F_Y(y)=\limes_{x\to\infty}F_{(X.Y)}(x,y). [/mm] Alle Dichten mögen überall existieren und überall echt positiv sein.
Betrachtet man X und Y für sich allein, dann liefert [mm] U:=F_{X}^{-1}:(0,1)\to\IR [/mm] und [mm] V:=F_{Y}^{-1}:(0,1)\to\IR [/mm] auf dem W-Raum [mm] ((0,1),\mathcal{B}((0,1)),\lambda^1|_{(0,1)}) [/mm] ZV, die verteilungsidentisch mit X und Y sind. U und V haben i.A. natürlich nicht [mm] F_{(X,Y)} [/mm] als gemeinsame Verteilungsfunktion.
Bildet man nun (EDIT!)
[mm] \frac{\frac{\partial F_{(X.Y)}}{\partial y}(x,y)}{f_Y(y)}
[/mm]
so erhält man [mm] F_{X|Y}(x|y), [/mm] richtig?
Das ist für ein fest gehaltenes y eine Verteilungsfunktion bezüglich x, richtig?
Dann erhält man durch [mm] Z=(F_{X|Y}(.|y))^{-1}:(0,1)\to\IR [/mm] wieder eine ZV, richtig?
Gibt es nun eine Möglichkeit, hiermit eine konkrete Version W für X zu konstruieren, wenn man sich [mm] V:=F_{Y}^{-1}:(0,1)\to\IR [/mm] wie oben vorgibt, so dass W und V die obige gemeinsame Verteilung haben?
Wenn ich ganz stumpf [mm]Z(\omega,y):=(F_{X|Y}(.|y))^{-1}(\omega)[/mm] [mm](\omega\in(0,1))[/mm] nehme und [mm] y=V(\omega) [/mm] einsetze, also [mm] W(\omega):=Z(\omega,Y(\omega)) [/mm] definiere, klappt das nämlich in praktischen Beispielen nicht.
LG
gfm
P.S.: Hab nur hier gefragt.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 14:08 Mo 02.08.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo!
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> Gegeben sei eine gemeinsame Verteilungsfunktion
> [mm]F_{X.Y}(x,y)[/mm] zweier reellwertiger ZV X,Y mit den
> Randverteilungen [mm]F_X(x)=\limes_{y\to\infty}F_{(X.Y)}(x,y)[/mm]
> und [mm]F_Y(y)=\limes_{x\to\infty}F_{(X.Y)}(x,y).[/mm] Alle Dichten
> mögen überall existieren und überall echt positiv sein.
>
> Betrachtet man X und Y für sich allein, dann liefert
> [mm]U:=F_{X}^{-1}:(0,1)\to\IR[/mm] und [mm]V:=F_{Y}^{-1}:(0,1)\to\IR[/mm]
> auf dem W-Raum
> [mm]((0,1),\mathcal{B}((0,1)),\lambda^1|_{(0,1)})[/mm] ZV, die
> verteilungsidentisch mit X und Y sind. U und V haben i.A.
> natürlich nicht [mm]F_{(X,Y)}[/mm] als gemeinsame
> Verteilungsfunktion.
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> Bildet man nun (EDIT!)
>
> [mm]\frac{\frac{\partial F_{(X.Y)}}{\partial y}(x,y)}{f_Y(y)}[/mm]
>
> so erhält man [mm]F_{X|Y}(x|y),[/mm] richtig?
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> Das ist für ein fest gehaltenes y eine Verteilungsfunktion
> bezüglich x, richtig?
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> Dann erhält man durch [mm]Z=(F_{X|Y}(.|y))^{-1}:(0,1)\to\IR[/mm]
> wieder eine ZV, richtig?
>
> Gibt es nun eine Möglichkeit, hiermit eine konkrete
> Version W für X zu konstruieren, wenn man sich
> [mm]V:=F_{Y}^{-1}:(0,1)\to\IR[/mm] wie oben vorgibt, so dass W und V
> die obige gemeinsame Verteilung haben?
>
> Wenn ich ganz stumpf
> [mm]Z(\omega,y):=(F_{X|Y}(.|y))^{-1}(\omega)[/mm] [mm](\omega\in(0,1))[/mm]
> nehme und [mm]y=V(\omega)[/mm] einsetze, also
> [mm]W(\omega):=Z(\omega,Y(\omega))[/mm] definiere, klappt das
> nämlich in praktischen Beispielen nicht.
>
Mir ist jetzt anschaulich klar warum dieses Vorhaben von Anfang an zum Scheitern verurteilt sein sollte:
Wenn man [mm] F_{X,Y}(x,y) [/mm] vorgibt (und somit [mm] F_X [/mm] und [mm] F_Y [/mm] wegen [mm] F_X=\limes_{y\to\infty}F_{X,Y}(x,y) [/mm] und [mm] F_X=\limes_{x\to\infty}F_{X,Y}(x,y) [/mm] festlegt), so dass [mm] f_{X,Y} [/mm] existiert und echt positiv ist und sich mit [mm] Y:=F_Y^{-1}(\omega) [/mm] auf dem W-Raum [mm] W:=(\Omega:=(0,1),\mathcal{A}:=\mathcal{B}(\Omega), P:=\lambda^1|_\Omega) [/mm] vorgibt, wird man i.A. schwer auf W eine passende ZV [mm] X(\omega) [/mm] finden. Denn wenn die Bedingung Y=y vorgegeben ist, ist damit auch das [mm] \omega [/mm] festgelegt und somit auch [mm] X(\omega).
[/mm]
Man müsste also zu einem [mm] F_Y [/mm] eine Funktion [mm] Y:\Omega\to\IR [/mm] finden, so dass [mm] Y^{-1}(\{y\}) [/mm] "reichhaltig" genug ist. Das Problem, was ich aber jetzt habe, ist dass [mm] \{y\} [/mm] eine L-Nullmenge ist. [mm] Y^{-1}(\{y\}) [/mm] sollte dann auch das Maß null haben. Aber auf der anderen Seite soll [mm] Y^{-1}(\{y\}) [/mm] so "groß" sein, damit man mit [mm] F_{X|Y}(.|y))^{-1}:(0,1)\to\IR [/mm] eine ZV für X bauen kann, so dass die beiden dann die gemeinsame Ausgangsverteilung haben.
Wer kann helfen?
LG
gfm
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 19:02 Mo 02.08.2010 | | Autor: | gfm |
> > Hallo!
> Mir ist jetzt anschaulich klar warum dieses Vorhaben von
> Anfang an zum Scheitern verurteilt sein sollte:
>
> Wenn man [mm]F_{X,Y}(x,y)[/mm] vorgibt (und somit [mm]F_X[/mm] und [mm]F_Y[/mm] wegen
> [mm]F_X=\limes_{y\to\infty}F_{X,Y}(x,y)[/mm] und
> [mm]F_X=\limes_{x\to\infty}F_{X,Y}(x,y)[/mm] festlegt), so dass
> [mm]f_{X,Y}[/mm] existiert und echt positiv ist und sich mit
> [mm]Y:=F_Y^{-1}(\omega)[/mm] auf dem W-Raum
> [mm]W:=(\Omega:=(0,1),\mathcal{A}:=\mathcal{B}(\Omega), P:=\lambda^1|_\Omega)[/mm]
> vorgibt, wird man i.A. schwer auf W eine passende ZV
> [mm]X(\omega)[/mm] finden. Denn wenn die Bedingung Y=y vorgegeben
> ist, ist damit auch das [mm]\omega[/mm] festgelegt und somit auch
> [mm]X(\omega).[/mm]
>
> Man müsste also zu einem [mm]F_Y[/mm] eine Funktion [mm]Y:\Omega\to\IR[/mm]
> finden, so dass [mm]Y^{-1}(\{y\})[/mm] "reichhaltig" genug ist. Das
> Problem, was ich aber jetzt habe, ist dass [mm]\{y\}[/mm] eine
> L-Nullmenge ist. [mm]Y^{-1}(\{y\})[/mm] sollte dann auch das Maß
> null haben. Aber auf der anderen Seite soll [mm]Y^{-1}(\{y\})[/mm]
> so "groß" sein, damit man mit
> [mm]F_{X|Y}(.|y))^{-1}:(0,1)\to\IR[/mm] eine ZV für X bauen kann,
> so dass die beiden dann die gemeinsame Ausgangsverteilung
> haben.
>
> Wer kann helfen?
Hab mir jetzt folgendes überlegt und bitte um Feedback:
Wie oben erwähnt, muss die Bedingung Y=y für die ZV X "genug Omegas" überlassen. Will man beide ZV auf (0,1) konstruieren, wird es schnell ziemlich kompliziert und auch analytische Eigenschaften der expliziten Funktionen mit denen man X und Y baut, scheinen gehen verloren zu gehen. Die Idee ist [mm] \Omega [/mm] "reichhaltiger" von Anfang an auszustatten:
Sei jetzt [mm] \Omega=(0,1)^2 [/mm] und [mm] P=\lambda^2|_\Omega [/mm] (Gleichverteilung auf [mm] (0,1)^2). [/mm] Die gemeinsame Verteilung [mm] F_{X,Y}(x,y) [/mm] sei vorgegeben und [mm] F_{X|Y}(x|y) [/mm] und [mm] F_Y(y) [/mm] seien die daraus abgeleitete nach Y bedingte Verteilung von X und die Randverteilung von Y. [mm] G_Y:(0,1)\to\IR [/mm] bezeichne die Pseudoinverse von [mm] F_Y. [/mm] Ebenso sei [mm] G_{X|Y} [/mm] die Pseudoinverse der bedingten Verteilung [mm] F_{X|Y}(x|y) [/mm] (es ist [mm] \omega\in(0,1), y\in\IR): G_{Y}(\omega):=\inf\{t\in\IR:\omega\le F_Y(t)\} [/mm] und [mm] G_{X|Y}(\omega|y):=\inf\{s\in\IR:\omega\le F_{X|Y}(s|y)\}. [/mm] X und Y werden nun explizit auf [mm] \Omega [/mm] definiert durch [mm] Y(\omega_1,\omega_2):=G_{Y}(\omega_2) [/mm] und [mm] X(\omega_1,\omega_2):=G_{X|Y}(\omega_1|G_{Y}(\omega_2)). [/mm] Dann haben X und Y die vorgegebene gemeinsame Verteilung:
[mm]P(\{X\le s\}\cap\{Y\le t\})=\integral_\Omega 1_{\{X\le s\}\cap\{Y\le t\}}dP=\integral_\Omega 1_{\{X\le s\}}*1_{\{Y\le t\}}dP
=\integral_\Omega\left(1_{(-\infty,s]}\circ X\right)*\left(1_{(-\infty,t]}\circ Y\right)dP[/mm]
[mm]=\integral_0^1\integral_0^11_{(-\infty,s]}(G_{X|Y}(\omega_1|G_Y(\omega_2)))*1_{(-\infty,t]}(G_Y(\omega_2))d\omega_2d\omega_1=\integral_0^1\integral_{-\infty}^{\infty}1_{(-\infty,s]}(G_{X|Y}(\omega_1|y))*1_{(-\infty,t]}(y)dF_Y(y)d\omega_1[/mm]
[mm]=\integral_{-\infty}^{\infty}\left(\integral_0^1\left(1_{(-\infty,s]}(G_{X|Y}(\omega_1|y))\right)d\omega_1\right)\right)1_{(-\infty,t]}(y)dF_Y(y)=\integral_{-\infty}^{\infty}\left(\integral_{-\infty}^{\infty}1_{(-\infty,s]}(x)dF_{X|Y}}(x|y)\right)\right)1_{(-\infty,t]}(y)dF_Y(y)[/mm]
[mm]=\integral_{-\infty}^{\infty}F_{X|Y}}(s|y)*1_{(-\infty,t]}(y)dF_Y(y)=\integral_{-\infty}^{t}F_{X|Y}}(s|y)dF_Y(y)[/mm]
Was meint Ihr? Und ich vermute, dass auch die symmetrische Definition
[mm] Y(\omega_1,\omega_2):=G_{Y|X}(\omega_2|G_X(\omega_1)) [/mm] und [mm] X(\omega_1,\omega_2):=G_{X|Y}(\omega_1|G_Y(\omega_2)) [/mm] den Zweck erfüllt, oder?
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 Di 03.08.2010 | | Autor: | gfm |
Es wird wohl so funktionieren, denn basierend auf diesem Schema kann man zu der gegebenen gemeinsamen Verteilungsfunktion auf [mm] (0,1)^2.
[/mm]
[mm] F_{X,Y}(x,y)=xy\frac{x+\gamma y}{1+\gamma} [/mm] mit [mm] 0<\gamma<\infty
[/mm]
auf [mm] (\Omega:=(0,1)^2,\mathcal{A}:=\mathcal{B}(\Omega),P=\lambda^2|_\Omega)
[/mm]
zwei ZV Y und X durch
[mm] Y(\omega_1,\omega_2):=-1/2\gamma+\wurzel{(1/2\gamma)^2+\omega_2(1+1/\gamma)}\in(0,1)
[/mm]
[mm] X(\omega_1,\omega_2):=-\gamma Y(\omega_1,\omega_2)+\wurzel{(\gamma Y(\omega_1,\omega_2))^2+\omega_1(1+2\gamma Y(\omega_1,\omega_2))}\in(0,1)
[/mm]
konstruieren, die dieselbe gemeinsame Verteilung haben.
LG
gfm
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