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Konstruktion äußerer Maße: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:55 Sa 30.04.2011
Autor: Mija

Ich habe hier vor mir zwei verschiedene Skripte zweier Profs liegen.
Der eine behauptet, dass der Hahnsche Fortsetzungssatz die Erweiterung eines Prämaßraumes auf die minimale Fortsetzung zu einem Maßraum gibt; der andere sagt allerdings dass die Erweiterung aus dem äußeren Maß folgt.

Was ist denn nun richtig?

        
Bezug
Konstruktion äußerer Maße: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:09 Mo 02.05.2011
Autor: Mija

Kann mir denn niemand weiterhelfen?

Bezug
        
Bezug
Konstruktion äußerer Maße: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:30 Mo 02.05.2011
Autor: gfm


> Ich habe hier vor mir zwei verschiedene Skripte zweier
> Profs liegen.
>  Der eine behauptet, dass der Hahnsche Fortsetzungssatz die
> Erweiterung eines Prämaßraumes auf die minimale
> Fortsetzung zu einem Maßraum gibt; der andere sagt
> allerdings dass die Erweiterung aus dem äußeren Maß
> folgt.
>  
> Was ist denn nun richtig?

Es gilt:

1) Ist [mm] \mu^\*:2^X\to[0,\infty] [/mm] irgendein beliebiges äußeres Maß und [mm] \mathcal{A}_{\mu^\*} [/mm] seine Sigmaalgebra meßbarer Mengen (nach Caratheordory), dann ist [mm] (X,\mathcal{A}_{\mu^\*},\mu^\*|_{\mathcal{A}_{\mu^\*}}) [/mm] ein (vollständiger) Maßraum.

2) Wenn [mm] \mu:\mathcal{R}\to[0,\infty] [/mm] ein Inhalt auf einem Ring [mm] \mathcal{R} [/mm] über der Menge X ist, dann definiert

[mm] \mu^\*(E):=\inf\{\summe\mu(A_n):E\subset\cup A_n;A_n\in\mathcal{R}\} [/mm]

ein äußeres Maß auf [mm] 2^X [/mm] (das von [mm] \mu [/mm] erzeugte) mit [mm] \mathcal{R}\subset\mathcal{A}_{\mu^\*} [/mm] und zusätzlich [mm] \mu=\mu^\*|_\mathcal{R}, [/mm] falls [mm] \mu [/mm] ein [mm] $\sigma$-Inhalt [/mm] ist.

3) Es gilt [mm] \mathcal{R}\subset\sigma(\mathcal{R})\subset\mathcal{A}_{\mu^\*} [/mm]

4) Im Falle eines Prämaßraums [mm] (X,\mathcal{R},\mu) [/mm] ist also [mm] (X,\sigma(\mathcal{R}),\mu^\*|_{\sigma(\mathcal{R})}) [/mm] eine kleinste Fortsetzung (im Sinne der Fortsetzung auf die kleinste Sigmaalgebra, die den Ring enthält).

5) Der Hahnsche Fortsetzungssatz klärt darüber hinaus die Eindeutigkeit: Sei [mm] \mu [/mm] ein [mm] $\sigma$-endlicher $\sigma$-Inhalt [/mm] auf einem Ring. Dann existiert genau ein [mm] ($\sigma$-endliches) [/mm] Maß, welches [mm] \mu [/mm] auf [mm] $\sigma(\mathcal{R})$ [/mm] fortsetzt.

LG

gfm

Bezug
        
Bezug
Konstruktion äußerer Maße: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:22 Sa 07.05.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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