Konstruktion einer Menge < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:30 Mi 18.04.2007 | | Autor: | papillon |
| Aufgabe | Sei R [mm] \subset P(\IR) [/mm] eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] und sei [mm] \mu [/mm] ein translantionsinvariantes Maß auf R, so dass [mm] \mu([0,1])=1.
[/mm]
Zeigen Sie, dass R [mm] \not= P(\IR), [/mm] d.h. konstruieren Sie eine Menge M [mm] \subset \IR [/mm] , die bezüglich [mm] \mu [/mm] nicht messbar ist. |
Hallo!
Leider bin ich mit der Maßtheorie noch nicht sehr vertraut, daher kann ich mir der Aufgabenstellung noch nicht wirklich viel anfangen.
Kann mir vielleicht einer das ganze erläutern und mir mit einem Ansatz helfen?
Vielen Dank!
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Hallo!
Diese Aufgabe ist für eine Übungsaufgabe schon recht trickreich. Die Antwort ist zwar nicht sehr kompliziert, aber nicht einfach zu finden. Abgesehen davon ist sie ziemlich unsauber gestellt, man müsste schon noch annehmen, dass die Translate der Elemente der [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] in der [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] enthalten sind.
Zunächst definierst du eine Äquivalenzrelation [mm] $\sim$ [/mm] auf [mm] $\IR$: $x\sim [/mm] y\ [mm] :\Leftrightarrow\ x-y\in\IQ$. [/mm] Dann betrachtest du ein Repräsentantensystem der Äquivalenzklassen, das in $[0;1]$ liegt. Dieses Repräsentantensystem wird üblicherweise mit $V$ bezeichnet und heißt Vitali-Menge.
Nun nummerierst du die Elemente von [mm] $\IQ\cap[-1;1]$ [/mm] durch: [mm] $\IQ\cap[-1;1]=\{q_n\colon n\in\IN\}$ [/mm] und betrachtest die Translate [mm] $V_n:=V+q_n$ [/mm] von $V$. Insbesondere gilt [mm] $[0;1]\subset \bigcup V_n\subset [/mm] [-1;2]$. Außerdem sind die [mm] $V_n$ [/mm] paarweise disjunkt.
Nimmt man an, dass $V$ messbar ist, dann folgt aus der Translationsinvarianz von [mm] $\mu$:
[/mm]
[mm] $1\le \sum_{n\in\IN}\mu(V)\le [/mm] 3$.
Kommst du mit dieser knappen Antwort zurecht? Wenn dir einzelne Schritte unklar sind, dann frag doch einfach nochmal nach!
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Mi 18.04.2007 | | Autor: | papillon |
Vielen herzlichen Dank erstmal!
Das ist in der Tat ganz schön trickreich, da wär ich nie im Leben draufgekommen, zumal ich Neuling auf diesem Gebiet bin!
Die Erklärung ist aber echt gut, habe nur noch ein paar (wahrscheinlich triviale) Fragen:
1. Was genau ist eine Translate?
2. Kannst du die Vitali-Menge vielleicht näher erläutern?
3. Die Vitali-Menge ist die nicht messbare Menge, richtig?
4. Woran sehe ich, dass die Vitali-Menge nicht messbar ist?
Nochmal herzlichen Dank für die Erläuterungen! papillon
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Hallo!
> 1. Was genau ist eine Translate?
Translate sind sozusagen Verschiebungen. Wenn du zum Beispiel das Translat von $[0;1]$ um $2$ bildest, dann ist das $[2;3]$.
> 2. Kannst du die Vitali-Menge vielleicht näher erläutern?
Leider habe ich keine bessere Erklärung für diese Menge. Ich weiss, dass es ziemlich schwierig ist, sich das vorzustellen. Sorry....
> 3. Die Vitali-Menge ist die nicht messbare Menge, richtig?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> 4. Woran sehe ich, dass die Vitali-Menge nicht messbar ist?
Wäre sie messbar, dann könnte man [mm] $\mu(V)$ [/mm] bilden. Das geht aber nicht, weil [mm] $\summe_{n=1}^\infty c=\begin{cases} 0, & \mbox{für } c=0\\ \infty, & \mbox{für } c>0 \end{cases}$. [/mm] Aber wir haben uns ja überlegt, dass [mm] $1\le\summe_{n=1}^\infty \mu(V)\le [/mm] 3$.
Gruß, banachella
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