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Hallo allerseits
Ich habe eine Frage zu Sigma-Algebren. Wie kann man eine Sigma-Algbra konstruieren so dass ihre Elemente Ai, die ja Mengen sind, disjunkt sind? Also der Schnitt der Mengen Ai der Sigma-Algebra soll leer sein. Die Sigma-Algebra soll abzählbar viele Elemente enthalten.(Sie kann also auch unendlich viele Elemente haben.)
Ausserdem, wie kann man ein Mass konstruiren das man auf der Sigma-Algebra anwenden kann?
Danke im voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:49 Do 16.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Ich habe eine Frage zu Sigma-Algebren. Wie kann man eine
> Sigma-Algbra konstruieren so dass ihre Elemente Ai, die ja
> Mengen sind, disjunkt sind?
Das geht nur in genau einem Fall: wenn naemlich die [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] aus hoechstens zwei Elementen besteht, und diese muessen [mm] $\emptyset$ [/mm] und [mm] $\Omega$ [/mm] sein.
> Also der Schnitt der Mengen Ai
> der Sigma-Algebra soll leer sein.
Das dagegen ist immer erfuellt, da die leere Menge immer ein Element der [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist; der Schnitt ueber alle Mengen ist also immer leer.
Was du vielleicht eher willst: dass die [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] von einer (abzaehlbaren) Menge paarweiser disjunkter nichtleerer Mengen erzeugt wird.
> Die Sigma-Algebra soll
> abzählbar viele Elemente enthalten.(Sie kann also auch
> unendlich viele Elemente haben.)
Nein, sie kann nicht abzaehlbar unendlich viele Elemente haben. Entweder ist die Anzahl der Elemente endlich (und in dem Fall ist die Anzahl [mm] $2^n$ [/mm] fuer ein $n [mm] \in \IN$) [/mm] oder sie ist ueberabzaehlbar.
> Ausserdem, wie kann man ein Mass konstruiren das man auf
> der Sigma-Algebra anwenden kann?
Wenn du etwa ein Erzeugendensystem der [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] bestehend aus abzaehlbar vielen paarweise disjunkten nichtleeren Mengen gegeben hast (deren Vereinigung ganz [mm] $\Omega$ [/mm] ist), so kannst du dir fuer jede dieser Menge [mm] $A_i$ [/mm] eine reelle Zahl [mm] $\alpha_i \in [/mm] [0, [mm] \infty)$ [/mm] aussuchen -- es gibt dann genau ein Mass [mm] $\mu$ [/mm] auf der [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] mit [mm] $\mu(A_i) [/mm] = [mm] \alpha_i$.
[/mm]
Dazu beachte: jedes Element $A$ aus der [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] laesst sich schreiben als [mm] $\bigcup_{i\in I} A_i$, [/mm] wobei $I$ eine abzaehlbare Indexmenge ist. Damit muss aber [mm] $\mu(A) [/mm] = [mm] \sum_{i \in I} \mu(A_i) [/mm] = [mm] \sum_{i \in I} \alpha_i$ [/mm] sein (da die [mm] $A_i$ [/mm] disjunkt sind), und man kann auch leicht nachpruefen dass man so tatsaechlich ein Mass definieren kann.
LG Felix
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Hey Felix
danke für die ausführliche Antwort!
Falls die Sigma-Algebra Elemente enthalten soll die disjunkt zueinander sind, dann kann sie nur 2 Elemente enthalten, das sehe ich ein.
Diese Bedingung soll bzw. kann meine Sigma-Algebra also nicht haben!
Dass der Schnitt der Elemente der Sigma-Algbra leer ist, ist mir jetzt auch klar!
Sie soll jetzt aber eine andere Bedingung haben, und zwar :
Ai sind die Elemente der Sigma-Algebra, dann
A1 [mm] \supset [/mm] A2 [mm] \supset [/mm] A3 [mm] \supset [/mm] ....
Wie geht man da vor um so eine Sigma-Algebra zu konstruieren? Kannst du mir da ein Beispiel geben?
Danke im Voraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:07 Fr 17.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey Felix
> danke für die ausführliche Antwort!
> Falls die Sigma-Algebra Elemente enthalten soll die
> disjunkt zueinander sind, dann kann sie nur 2 Elemente
> enthalten, das sehe ich ein.
> Diese Bedingung soll bzw. kann meine Sigma-Algebra also
> nicht haben!
> Dass der Schnitt der Elemente der Sigma-Algbra leer ist,
> ist mir jetzt auch klar!
>
> Sie soll jetzt aber eine andere Bedingung haben, und zwar
> :
> Ai sind die Elemente der Sigma-Algebra, dann
> A1 [mm]\supset[/mm] A2 [mm]\supset[/mm] A3 [mm]\supset[/mm] ....
>
> Wie geht man da vor um so eine Sigma-Algebra zu
> konstruieren? Kannst du mir da ein Beispiel geben?
also eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] über einer Grundmenge [mm] $\Omega$, [/mm] die dieses erfüllt, ist sicher wieder [mm] $\{\Omega, \emptyset\}\,$ [/mm] (mit [mm] $A_1=\Omega$ [/mm] und [mm] $A_2=\emptyset$). [/mm]
Überlege Dir mal, was es bedeutet, wenn Du eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] der obigen Bauart hast, dass [mm] $\emptyset$ [/mm] in der [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] liegen soll (wieviele Elemente kann dann die [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] nur enthalten?).
Und jetzt überlege mal:
Weil [mm] $\Omega$ [/mm] in jeder [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] liegt, folgt, dass [mm] $A_1=\Omega$ [/mm] gelten muss. Nimm' an, es wäre [mm] $\emptyset \not= A_2 \subset \Omega$, $A_2 \not= \Omega\,.$ [/mm] Dann wäre [mm] $\Omega \setminus A_2\not=\emptyset$ [/mm] auch in der [mm] $\sigma\,$-$\,$Algebra, [/mm] es müsste also einen Index $j [mm] \in \IN$ [/mm] mit $j [mm] \ge [/mm] 3$ so geben, dass [mm] $A_j=\Omega \setminus A_2\,,$ [/mm] insbesondere [mm] $\red{A_j \not=\emptyset}\,.$ [/mm] Dann wäre aber insbesondere (wegen obiger Anordnung der Elemente der [mm] $\sigma\,$-$\,$Algebra) $\green{A_j \subset A_2}$ [/mm] und damit folgt durch Komplementbildung [mm] $\big(A_j\,=\,\big)\;\;\Omega \setminus A_2 \subset \Omega \setminus A_j\,,$ [/mm] also [mm] $A_j \subset A_j^c\,.$ [/mm] Das liefert [mm] $\red{A_j = \emptyset}\,.$ [/mm] Widerspruch.
Was kommt also für [mm] $A_2$ [/mm] nur in Frage?
Gruß,
Marcel
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