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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:59 Di 27.04.2010 | | Autor: | briddi |
| Aufgabe 1 | Das Wachstum einer Kaninchenpopultaion soll berechnet werden. Jedes neugeborene Kaninchenpaar wird nach 6 Wochen erwachsen. Jedes erwachsene Paar bringt alle 6 Wochen ein neues Paar zur Welt und stirbt nie.
Fassen Sie die Entwicklung der Kaninchenpopulation nun als kontinuierliches dynamisches System auf, in dem mit einer durchschnittlichen Geburtenrate von [mm] \bruch{1}{1008 Stunde} [/mm] ein neues Paar geboren wird. Stellen Sie das zugehörige ANfangswertproblem [mm] \bruch{dx(t)}{dt}=f(t,x(t)); x(0)=\vektor{1 \\ 0} [/mm] auf und ermitteln SIe seine Lösung. |
| Aufgabe 2 | | Zeigen Sie, dass das diskrete dynamische System der ersten Aufgabe äquivalent ist zu dem, das sich ergibt, wenn man das Anfangswertproblem mit dem eulerschen Polygonzugverfahren numerisch löst. |
Zur Erklärung: Ich habe das Wachstum der Kaninchen bereits als diskretes Modell betrachtet. dabei gilt:
[mm] x(t+1)=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }* [/mm] x(t)
t ist jeweils ein Zeitschritt von 6 Wochen. Die Population wächst dabei alle 6 Wochen um ca. 62%, wobei langfristig betrachtet das Verhältnis der jungen zu den erwachsenen Kaninchen wie folgt verhält: 1: 1,62
Jetzt stehe ich aber vor dem Problem ein kontinuierliches dynamisches System anzugeben und weiss überhaupt nicht wie man dabei vorgeht. Ich weiß, wenn ich eine 2x2-Matrix B finde für die gilt:
[mm] \bruch{dx(t)}{dt}=Bx(t) [/mm] ,dass man die Lösungen über Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen kann. aber wie bestimmt man die Matrix B?
Zur zweiten Aufgabe: Ich habe noch nie mit dem Polygonzugverfahren gearbeitet,bin deshalb sehr unsicher. Ich weiß dass das Polygonzugverfahren rekursiv arbeitet. den ersten Wert habe ich durch [mm] x(0)=\vektor{1 \\ 0} [/mm] gegeben. alle weiteren Punkte [mm] (x_{i}, y_{i}) [/mm] berechnen sich durch:
[mm] x_{i+1}=x_{i}+h
[/mm]
[mm] y_{i+1}=y_{i}+h*f(x_{i},y_{i})
[/mm]
Dabei soll h die Gitterweite sein.
Was genau soll das bedeuten? ALso wie rechnet man damit? und dann ist mir eigentlich auch noch nicht so klar,was ich im endeffekt wirklich konkret zeigen muss.
Ganz lieben Dank für eure Hilfe.
briddi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 05.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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