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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:28 Sa 27.02.2010 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle,
ich muss die Lösbarkeit einer PDE zeigen: Die PDE besitzt (in vereinfachter Form) die Gestalt
$Au+f(u)=0$
wobei [mm] $u:\IR^2\rightarrow\IR^m$, $m\in\IN$ [/mm] und [mm] $f:\IR^m\rightarrow\IR^m$ [/mm] nichtlinear und glatt (z.B. [mm] $f\in C^4$). [/mm] Unter $A$ stelle man sich der Einfachheithalber den Laplace-Operator [mm] $A=\triangle$ [/mm] vor. Aus der Linearisierung um $0$ erhalten wir
$Au+f'(0)u=f'(0)u-f(u)$
Die Idee ist es nun der folgende Iterationsansatz:
[mm] $Au^{k+1}+f'(0)u^{k+1}=f'(0)u^{k}-f(u^k)$, [/mm] für [mm] $k\in\IN$
[/mm]
1. Frage: Woher stammt diese Iterationswahl, dass ich ausgerechnet links die $k+1$ und rechts die $k$ Terme schreibe?
Die Idee ist es nun zu zeigen, dass diese Iteration eine Kontraktion beschreibt um den Banachschen Fixpunktsatz anwenden zu können. Doch für eine Kontraktion benötige ich doch eine Abbildung [mm] $\Phi:M\rightarrow [/mm] M$ ($M$ vollständiger metrischer Raum), von der ich zeigen muss, dass sie eine Kontraktion ist.
2. Frage: Wie ist die Abbildung [mm] $\Phi$ [/mm] in meinem Fall genau aus?
Beachtet, mich interessiert nicht wie $M$ gewählt werden soll, sondern wie ich [mm] $\Phi$ [/mm] wählen muss, denn [mm] $\Phi$ [/mm] muss aufgrund der Iteration doch etwas wie
[mm] $\Phi(u^k)=u^{k+1}$
[/mm]
erfüllen. Ansonsten verstehe ich nämlich nicht, wie ich die Kontraktionseigenschaft
[mm] $\Vert{u^{k+1}-v^{k+1}}\Vert_M\leqslant C\Vert{u^k-v^k}\Vert_M$, [/mm] für [mm] $k\in\IN$
[/mm]
nachweisen soll (wobei $0<M<1$).
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.
Danke & Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 03.03.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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