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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 Mi 07.04.2010 | | Autor: | csak1162 |
| Aufgabe | Gesucht ist eine Lösung der nichtlinearen Gleichung 2x = tan x in einer Umgebung von 1.
Untersuche ob die Abbildungen
[mm] f_{1}(x) =\bruch{tan x}{2}
[/mm]
[mm] f_{2}(x) [/mm] = arctan(2x)
auf Intervallen, die 1 enthalten, Kontraktionen sind, gib jeweils das größtmögliche Intervall
an und berechne gegebenfalls den Fixpunkt. |
hallo
ich verstehe die angabe schon einmal nicht wirklich.. hängt das suchen der lösung mit der untersuchung ob diese abbildungen kontraktionen sind zusammen???
könnte mir jemand vielleicht ein paar anleitungen geben was ich bei dieser aufgabe machen muss!!
danke lg
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Hi,
die Lösungen dieser Gleichungen sind gerade Fixpunkte der beiden Funktionen, also Punkte für die f(x)=x gilt. Wenn eine Selbstabbildung jetzt kontrahierend ist, besitzt sie genau einen Fixpunkt.(Banachscher Fixpunktsatz)
Gruß
Angelika
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Mi 07.04.2010 | | Autor: | csak1162 |
okay
den banachschen fixpunktsatz hatten wir nicht, da bin ich mir sicher.
aber wie zeige ich, dass die selbstabbildung kontrahierend ist??? ich weiß nie wie ich anfangen soll!!!!
danke lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:28 Do 08.04.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> okay
> den banachschen fixpunktsatz hatten wir nicht, da bin ich
> mir sicher.
> aber wie zeige ich, dass die selbstabbildung kontrahierend
> ist??? ich weiß nie wie ich anfangen soll!!!!
Du suchst Dir die Definition von "kontrahierend", steckst die zwei Funktionen rein und schaust, ob sie sie erfüllen.
Wenn Du damit Probleme hast, kannst Du gerne zurückkommen, aber die ersten Schritte wirst Du doch hinkriegen.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:41 Fr 09.04.2010 | | Autor: | csak1162 |
okay
also [mm] |\bruch{tan x}{2} [/mm] - [mm] \bruch{tan y}{2} [/mm] | [mm] \le [/mm] L |x-y|
L < 1
okay ich hoffe das ist die definition
aber wie zeige ich das jetzt?? ich steh irgendwie immer noch auf der leitung!!
also die funktion ist kontrahierend zum beispiel auf dem Intervall [0,1], aber wie finde ich das größte intervall heraus???
hat das was mit dem fixpunkt zu tun???
oder muss ich einfach nur f'(x) bestimmen und dann mit
sup |f'(x)| < 1 zeigen, dann ist f ja eine kontraktion??
danke lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Fr 09.04.2010 | | Autor: | csak1162 |
ich habe jetzt die ableitung der beiden funktionen berechnet
und dann
[mm] 1/(cos^{2}(x)) [/mm] = 1
wegen den
sup|f'(x)| < 1
und bekomme dann [mm] \pi/4 [/mm] heraus
bei der zweiten funktion komme ich auf 0
ich weiß nicht ob das eines sinn hat was ich hier rechne, aber ich probiere halt
ich habe jetzt die funktionen aufgezeichnet und im prinzip haben beide funktionen drei fixpunkte
einen bei 0 und die anderen irgendwo bei 1,2
aber das sind ja dann gerade die grenzen des intervalls für die kontraktion??? oder???
wie komme ich auf die???
falls irgendwas was ich schreibe sinn hat
danke lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Fr 09.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
cos(x) ist doch für fast alle x kleiner 1, d.h. deine Ableitungsbetrag ist fast überall >1
kann es dann kontrahierend sein?
Du kannst das auch zeichnerisch sehen:
zeichne tan(x)/2 und x dann hast du den Schnittpunkt.
jetzt suchst du ja nicht irgendeinen, sondern den in der Gegend von x=1. also fang mit x1=1 an, bilde x2=tan(x1)/2, liegt x2 näher am Schnittpkt oder weiter weg, sicherheitshalber noch x3=tan(x2)/2 das alles kannst du direkt in der Zeichnung machen.
jetzt mach dasselbe mit arctan(2x) und x
Dann kannst du direkt "sehen", was das die Iteration tut, und auch einsehen, warum f'<1 sein sollte!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Fr 09.04.2010 | | Autor: | csak1162 |
ich war wieder einmal schlampig
ich meinte
[mm] \bruch{1}{2cos^{2}(x)}
[/mm]
dann ist es nicht fast immer nicht kontrahierend!
wenn ich tan(x)/2 und x zeichne erhalte ich ja drei schnittpunkte
0, ~1,2, ~-1,2
also x1, x2 ,x3 nähern sich dem schnittpunkt 0 an!
oder??
stimmt das????
was habe ich damit gezeigt?????
danke lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Fr 09.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Dein Experiment zeigt, dass du so nur den fixpunkt 0 finden kannst, dafür ist die Abb. kontrahierend.
Dass du den Schnittpkt bei etwa x=1/2 siehst versteh ich nicht.
du kannst auch leicht nachrechnen tan(0.5)=0.546
tan(0.5)/2=0,27.. also weit entfernt von 0.5!
Der Schnittpunkt liegt in der Gegend von 1.2
Du warst nur nach dem Punkt in der Nähe von 1 gefragt! cos(1)=0.54
[mm] 1/2*cos^2(1)>1 [/mm] also ist das für diese Abbildung ein abstoßender Fixpunkt, 0 ist ein anziehender.
abstossend heisst hier, wenn du einen Punkt schon ganz nahe am fixpkt einsetzt ist der nächste weiter weg!
Jetzt versuch das mit der zweiten fkt.
(und mach bessere Zeichnungen, ode lass dir die von nem Plotter machen!)
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 Fr 09.04.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
wir wollen iterativ mit [mm] $x_{n+1}=f_i(x_n)$ [/mm] zu einem Fixpunkt konvergieren.
Wir haben zwei Möglichkeiten,
1. [mm] $f_1(x)=\frac{\tan x}{2}$
[/mm]
[mm] $f_1'(x)=\frac12 (1+\tan^2(x))<1\ \Rightarrow\ \tan^2(x)<1$
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
An dem Bild sieht man:
1. Die Funktion ist in keiner Umgebung von 1 kontrahierend, da die Ableitung >1
2. links vom Fixpunkt bei 1.17 konvergieren wir aber dennoch gegen 0. (Kontrahierend heißt, Abstände auf der y-Achse sind kleiner als auf der x-Achse. Allerdings kann auch bei einer nicht-kontrahierenden Funktion der Abstand zu einem bestimmten Punkt kleiner werden. Ist nur gefährlich, starten wir rechts von dem 1.17er Fixpunkt entschweben wir in die Unendlichkeit)
3. Keine Chance gegen den gesuchten Fixpunkt in der Nähe von 1 zu konvergieren. Ist [mm] $x_n$ [/mm] kleiner als der Fixpunkt, wird [mm] $x_{n+1}$ [/mm] noch kleiner, ist [mm] $x_n$ [/mm] größer als der Fixpunkt, wird [mm] $x_{n+1}$ [/mm] noch größer.
4. Wir konvergieren allerdings gegen 0 in einer Umgebung von 0 (grob zw. -1.16 und 1.16), nur war das nicht gesucht.
Setz sagen wir 1/2 in die Formel ein und wende sie immer wieder auf das Ergebnis an (z.B. mit ![[]](/images/popup.gif) SpeedCrunch) und Du siehst Konvergenz gegen 0.
2. [mm] $f_2(x)=\arctan(2x)$
[/mm]
EDIT: Ableiten sollte man können. Sch...lecht, sorry.
[mm] $f'_2(x)=\frac{2}{1+(2x)^2} [/mm] <1\ [mm] \Rightarrow\ x>\frac12$
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
An dem Bild sieht man:
1. Die Funktion ist kontrahierend für [mm] $x>\frac12$
[/mm]
2. Entsprechend kannst Du Dir ein Intervall um 1 suchen.
3. Netterweise gilt [mm] $f_2(x)>x$ [/mm] für alle $x>0$, d.h. wir konvergieren sogar überall im positiven Bereich gegen den Fixpunkt.
4. Die Kettenregel ist nützlich, aaaaaaaargh. =)
In den kontrahierenden Bereichen konvergieren wir sicher gegen den zugehörigen Fixpunkt. Außerhalb kann es sein, muß aber nicht.
ciao
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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