Kontraktion e Funktion < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sei die Gleichung 2+0.5x+ln(x)=0. (1)
Dieses Problem lässt sich durch folgende Fixpunktiteration lösen:
[mm] x_{k+1}=e^{-2-0.5x_k} [/mm] =:f(x), k [mm] \in \IN_0 [/mm] (2)
a) Zeigen sie, dass die Gleichung (1) im offenen Intervall [mm] (0,e^{-2}) [/mm] genau eine Lösung besitzt.
b) Zeigen sie, dass das Interationsverfahren (2) für alle [mm] x_0 \in \IR [/mm] gegen die Nullstelle aus a) konvergiert. |
Hallo,
die a) ist mir klar, die Funktion ist monoton und die Grenzwerte gegen die Intervallgrenzen haben unterschiedliches Vorzeichen, also muss die Behauptung wahr sein.
Bei der b) stehe ich allerdings etwas auf dem Schlauch, bzw. denke, dass das nicht stimmen kann, was mich aber wundern würde, da das eine alte Klausuraufgabe ist, wo normal nicht so formuliert wird, wenn es nicht stimmt.
Meine Überlegung:
Anzuwenden ist der Banachsche Fixpunktsatz.
(1) lässt sich durch |-2 - 0.5x und [mm] |e^{Seite} [/mm] auf die Fixpunktgleichung (2) bringen.
Offensichtlich ist (2) Selbstabbildung auf [mm] \IR,
[/mm]
und da (2) differenzierbar ist, müsste für eine Lipschitz-Konstante 0 [mm] \le \lambda [/mm] < 1 gelten:
[mm] \labda=|f'(x)|<1 [/mm] für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
Da f'(x) = [mm] -0.5*e^{-2-0.5x} [/mm] ist, gilt dies offensichtlich nicht, und f ist keine Kontraktion. Somit ist der Banachsche Fixpunktsatz nicht anwendbar.
Was ist hier mein Fehler bzw. ist die Aufgabe einfach nur schlecht formuliert?
Danke!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:18 Sa 19.09.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo RunOrVeith!
> die a) ist mir klar, die Funktion
Welche Funktion? Besser: Wir definieren
[mm] $g\colon(0,\infty)\to\IR\colon x\mapsto 2+\frac{1}{2}*x+\ln(x)$.
[/mm]
> ist monoton
Wieso ist die Funktion monoton? Außerdem: Das reicht für deine Argumentation nicht aus. (Warum?)
Zeige, dass [mm] $g\$ [/mm] streng monoton wachsend ist.
> und die Grenzwerte gegen die Intervallgrenzen haben unterschiedliches Vorzeichen,
Das hättest du ruhig sauber aufschreiben können.
> also muss die Behauptung wahr sein.
Ohne Stetigkeit geht hier aber auch nichts.
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:59 So 20.09.2015 | | Autor: | RunOrVeith |
Hallo,
danke, das ist mir alles klar, ich habe es nur der Faulheit halber hier nicht nochmal alles aufgeschrieben. Mir geht es mehr um die b)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 So 20.09.2015 | | Autor: | fred97 |
Zu b):
für das Iterationsverfahren
$ [mm] x_{k+1}=e^{-2-0.5x_k}$ [/mm]
kannst Du von [mm] x_0 \ge [/mm] 0 ausgehen, denn ist [mm] x_0<0, [/mm] so ist [mm] x_k>0 [/mm] für jedes k [mm] \ge [/mm] 1.
Betrachte also den vollständigen metr. Raum X:=[0, [mm] \infty) [/mm] (mit d(x,y)=|x-y|) und die Abbildung f:X [mm] \to [/mm] X, def. durch
[mm] f(x):=e^{-2-0.5x}.
[/mm]
Zeige:
1. f(X) [mm] \subseteq [/mm] X,
2. $|f'(x)| [mm] \le \bruch{1}{2e^2}<1$ [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] X
und
3. $|f(x)-f(y)| [mm] \le \bruch{1}{2e^2}*|x-y|$ [/mm] für alle x,y [mm] \in [/mm] X .
Die Vor. des Banachschen Fixpunktsatzes sind also erfüllt.
f hat also in X genau einen Fixpunkt. Überlege Dir, dass f auch auf [mm] \IR [/mm] genau einen Fixpunkt hat.
Warum liegt dieser Fixpunkt im Intervall $ [mm] (0,e^{-2}) [/mm] $ ?
FRED
|
|
|
| |
|
Hallo,
der untere Teil ist mir klar, ich verstehe nur nicht, warum ich [mm] x_0 [/mm] > 0 voraussetzen darf.
Liegt es daran, dass ich ja quasi den Schnittpunkt mit der Winkelalbierenden des 1. Quadranten suche, welcher ja logischerweise bei einem x-Wert größer als 0 sein muss, anschaulich gesprochen?
Danke auf jeden Fall!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 So 20.09.2015 | | Autor: | DieAcht |
> ich verstehe nur nicht, warum ich [mm]x_0[/mm] > 0 voraussetzen darf.
Du kannst von [mm] $x_0\ge [/mm] 0$ ausgehen!
Sei [mm] $x_0<0$. [/mm] Dann ist [mm] $x_1=e^{-2-0.5*x_0}>0$. [/mm] Induktiv folgt [mm] $x_k>0$ [/mm] für alle [mm] $k\in\IN$.
[/mm]
(Beachte: [mm] $e^{x}>0$ [/mm] für alle [mm] $x\in\IR$.)
[/mm]
P.S. Vielleicht solltest du dir den Grund dieser Aussage klar machen.
|
|
|
|
