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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:54 Fr 01.02.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | | Es seien C1 und C2 zwei Kreise mit Radius 2 mit Zentrum P1(-1,0) und P2(1,0). Finden Sie die Extremwerte der Funktion f(x,y)= x²+y²-2y+1 in C1 [mm] \cap [/mm] C2 |
Hallo alle zusammen!
Also ich gehe davon aus, dass C1 [mm] \cap [/mm] C2 nichts anderes bedeutet, als der gemeinsame Raum bzw. die gemeinsame Fläche der beiden Domänen, oder?
C1: [mm] (x-1)^2 +y^2=4
[/mm]
C2: [mm] (x+1)^2 +y^2=4
[/mm]
Somit lautet meine Lagrange Funktion:
[mm] x^2+y^2-2*y+1+ \lambda [/mm] * [mm] ((x-1)^2 +y^2-4) [/mm] + [mm] \gamma [/mm] * [mm] ((x+1)^2 +y^2-4)
[/mm]
Nach entsprechendem partiellen Ableiten nach: [mm] x,y,\lambda [/mm] und [mm] \gamma [/mm] und 0 setzen dieser Funktionen finde ich (mit Derive kontrolliert):
[mm] P1(0,\wurzel{3})
[/mm]
[mm] P2(0,-\wurzel{3})
[/mm]
Das sind die Extremwerte AUF DEM RAND dieser beiden Domänen C1 und C2, liege ich richtig?
Weiter gehts mit:
[mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x} [/mm] = 2x = 0
[mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial y} [/mm] = 2y-2 = 0
Hier finde ich den Punkt P3(0,1)
Über Hesse kann ich herausfinden, welcher Art dieser Extremwert ist:
[mm] f_{x}=2x
[/mm]
[mm] f_{xx}=2
[/mm]
[mm] f_{xy}=0
[/mm]
[mm] f_{y}= [/mm] 2y-2
[mm] f_{yy}=2
[/mm]
Somit ist meine Hesse Matrix in P3 mit [mm] x_{3} [/mm] und [mm] y_{3}=
[/mm]
[mm] \Delta= [/mm] det [mm] \pmat{2 & 0 \\ 0 & 2} [/mm] = 4
Fall: Wenn [mm] \Delta [/mm] > 0 ist und [mm] f_{xx} [/mm] > 0 dann liegt ein relatives Minimum vor.
Also: P3 (0,1) => relatives Minimum
Nun betrachte ich noch die Funktions-Werte:
[mm] f(x_{1}, y_{1}) [/mm] = 0,535
[mm] f(x_{2}, y_{2}) [/mm] = 7,4641
[mm] f(x_{3}, y_{3}) [/mm] = 0
Mein Problem hier ist die 0 für P3, was sagt das aus? Handelt es sich hier um absolutes Minimum?
Also wäre es so:
P1: relatives Minimum
P2: absolutes Maximum
P3: absolutes Minimum
Stimmt das so?
Dankesehr
lg
Zuggel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:26 Di 05.02.2008 | | Autor: | Zuggel |
Hallo alle zusammen!
Da wohl irgendwie keiner eine Antwort auf meine Frage weis, möchte ich das ganze etwas vereinfacht darstellen ,und zwar:
Wenn ich einen Punkt habe und ihn i ndie Ausgangsgleichung einsetze und selbiger mir einen Funktionswert von 0 ergibt, so sagt mir das nicht aus, ob er ein Sattelpunkt oder sonstwas ist, oder? Sofern 0 der kleinste Wert ist, ist dieser Punkt ein absolutes Minimum.
Scheiden andere Punkte dann aus, oder sind diese als relative Minimi (auf dem Randbereich) anzusehen?
Dankesehr
lg
Zuggel
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Hi,
> Es seien C1 und C2 zwei Kreise mit Radius 2 mit Zentrum
> P1(-1,0) und P2(1,0). Finden Sie die Extremwerte der
> Funktion f(x,y)= x²+y²-2y+1 in C1 [mm]\cap[/mm] C2
> Hallo alle zusammen!
>
> Also ich gehe davon aus, dass C1 [mm]\cap[/mm] C2 nichts anderes
> bedeutet, als der gemeinsame Raum bzw. die gemeinsame
> Fläche der beiden Domänen, oder?
das denke ich auch.
>
> C1: [mm](x-1)^2 +y^2=4[/mm]
> C2: [mm](x+1)^2 +y^2=4[/mm]
>
> Somit lautet meine Lagrange Funktion:
>
> [mm]x^2+y^2-2*y+1+ \lambda[/mm] * [mm]((x-1)^2 +y^2-4)[/mm] + [mm]\gamma[/mm] *
> [mm]((x+1)^2 +y^2-4)[/mm]
>
> Nach entsprechendem partiellen Ableiten nach: [mm]x,y,\lambda[/mm]
> und [mm]\gamma[/mm] und 0 setzen dieser Funktionen finde ich (mit
> Derive kontrolliert):
>
> [mm]P1(0,\wurzel{3})[/mm]
> [mm]P2(0,-\wurzel{3})[/mm]
>
OK.
> Das sind die Extremwerte AUF DEM RAND dieser beiden Domänen
> C1 und C2, liege ich richtig?
>
> Weiter gehts mit:
>
> [mm]\bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}[/mm] = 2x = 0
> [mm]\bruch{\partial f(x,y)}{\partial y}[/mm] = 2y-2 = 0
>
> Hier finde ich den Punkt P3(0,1)
ab hier verstehe ich nicht mehr, was du machst. es geht doch um min/max-imierung unter nebenbedingungen. Das uebliche gradienten-kriterium [mm] $\nabla [/mm] f=0$ macht hier keinen sinn.
>
> Über Hesse kann ich herausfinden, welcher Art dieser
> Extremwert ist:
>
> [mm]f_{x}=2x[/mm]
> [mm]f_{xx}=2[/mm]
> [mm]f_{xy}=0[/mm]
>
> [mm]f_{y}=[/mm] 2y-2
> [mm]f_{yy}=2[/mm]
>
> Somit ist meine Hesse Matrix in P3 mit [mm]x_{3}[/mm] und [mm]y_{3}=[/mm]
>
> [mm]\Delta=[/mm] det [mm]\pmat{2 & 0 \\ 0 & 2}[/mm] = 4
>
> Fall: Wenn [mm]\Delta[/mm] > 0 ist und [mm]f_{xx}[/mm] > 0 dann liegt ein
> relatives Minimum vor.
>
wie gesagt, das ist zwar ein rel. minimum, aber das ist nicht von interesse fuer dies aufgabe. es liegt ja nicht in [mm] $C_1\cap C_2$.
[/mm]
> Also: P3 (0,1) => relatives Minimum
>
> Nun betrachte ich noch die Funktions-Werte:
>
> [mm]f(x_{1}, y_{1})[/mm] = 0,535
> [mm]f(x_{2}, y_{2})[/mm] = 7,4641
> [mm]f(x_{3}, y_{3})[/mm] = 0
>
> Mein Problem hier ist die 0 für P3, was sagt das aus?
> Handelt es sich hier um absolutes Minimum?
>
> Also wäre es so:
>
> P1: relatives Minimum
> P2: absolutes Maximum
> P3: absolutes Minimum
>
> Stimmt das so?
>
siehe oben.
> Dankesehr
> lg
> Zuggel
gruss
matthias
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