Kontrolle von n^2 > 2n+1 < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:15 So 18.11.2012 | | Autor: | Vertax |
| Aufgabe | | Beweisen Sie mit Vollständiger Induktion das [mm]n^2 > 2n+1[/mm] für [mm]n\ge3[/mm] gilt. |
Hi Community, wollte mal Fragen ob ich die Aufgabe so korrekt gelöst habe:
Beweise das [mm]n^2 > 2n+1[/mm] für [mm]n\ge3[/mm] gilt.
1.) IA: n=3, [mm] 3^2 [/mm] > 2*3+1 -> 9 > 7 (korrekt)
2.) IS: n=n+1,
[mm](n+1)^2 > 2(n+1)+1[/mm] gilt zu beweisen
3.) IS:
[mm]n^2 > 2n+1[/mm] | [mm]+(2n+1)[/mm]
[mm]n^2+2n+1 > 2n+1+2n+1[/mm]
[mm](n+1)^2 > 4n+2[/mm]
da [mm]2(n+1)+1 = 2n+3[/mm] und [mm]2n+3 < 4n+2[/mm]
muss
[mm](n+1)^2 > 2n+3[/mm] = [mm](n+1)^2 > 2(n+1)+1[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 So 18.11.2012 | | Autor: | teo |
> Beweisen Sie mit Vollständiger Induktion das [mm]n^2 > 2n+1[/mm]
> für [mm]n\ge3[/mm] gilt.
> Hi Community, wollte mal Fragen ob ich die Aufgabe so
> korrekt gelöst habe:
>
> Beweise das [mm]n^2 > 2n+1[/mm] für [mm]n\ge3[/mm] gilt.
>
> 1.) IA: n=3, [mm]3^2[/mm] > 2*3+1 -> 9 > 7 (korrekt)
> 2.) IS: n=n+1,
Das "=" ist hier falsch: $n [mm] \rightarrow [/mm] n+1$
>
> [mm](n+1)^2 > 2(n+1)+1[/mm] gilt zu beweisen
>
> 3.) IS:
>
> [mm]n^2 > 2n+1[/mm] | [mm]+(2n+1)[/mm]
>
> [mm]n^2+2n+1 > 2n+1+2n+1[/mm]
>
> [mm](n+1)^2 > 4n+2[/mm]
>
> da [mm]2(n+1)+1 = 2n+3[/mm] und [mm]2n+3 < 4n+2[/mm]
Vlt. noch ne kurze Begründung (weil $n > 3, n [mm] \in \IN$)
[/mm]
> muss
>
> [mm](n+1)^2 > 2n+3[/mm] = [mm](n+1)^2 > 2(n+1)+1[/mm]
Auch hier ist das "=" falsch! [mm] \gdw [/mm]
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:31 So 18.11.2012 | | Autor: | Vertax |
Danke für die Schnelle Antwort, die paar Schönheitsfehler werd ich dann noch bereinigen. Aber gut zu wissen das meine Gedankengänge korrekt waren. Hatte da schon mal mehr Probleme mit gehabt.
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Hallo Vertax,
> Beweisen Sie mit Vollständiger Induktion das [mm]n^2 > 2n+1[/mm]
> für [mm]n\ge3[/mm] gilt.
Das ginge nebenbei viiiiel leichter ohne Induktion. Siehst Du, wie?
Binomische Formeln würden helfen, jedenfalls eine...
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 So 18.11.2012 | | Autor: | Vertax |
Meinst du die Variante mit der quadratischen Gleichung die ich nur Lösen muss?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:34 So 18.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Meinst du die Variante mit der quadratischen Gleichung die
> ich nur Lösen muss?
Im Prinzip ja.
[mm] n^2>2n+1\quad\gdw\quad n^2-2n-1>0\quad\gdw\quad n^2-2n+1>2\quad\gdw\quad (n-1)^2>2
[/mm]
Für [mm] (n-1)\ge0 [/mm] folgt [mm] \Rightarrow n-1>\wurzel{2}\quad\gdw\quad n>\1+\wurzel{2}
[/mm]
Grüße
reverend
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