Konv. das Integral? < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:33 Mo 03.05.2010 | | Autor: | bestduo |
Hallo,
wenn man folgendes uneig. Integral betrachtet: [mm] \integral_{1}^{\infty}{e^{1/x} dx}
[/mm]
man soll überprüfen, ob es konvergent ist
Mein Ansatz:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{1}^{n}{e^{1/x} dx} [/mm]
dann habe ich versucht die Stammfunktion mit Substitution raus zu finden:
t=1/x [mm] \Rightarrow dx=-x^2 [/mm] dt [mm] \Rightarrow [/mm] dx= [mm] \bruch{dt}{t^2}
[/mm]
Wie komme ich jetzt auf die Stammfunktion von
[mm] \integral_{1}^{n}{\bruch{e^t dt}{t^2}} [/mm] ????????
So wenn ich die Stammfunktion mit eurer Hilfe raus gefunden habe^^ wie komme ich dann auf die Konvergenz???
Muss ich gucken, ob der Integrand für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] gegen 0 geht um was über das Integrall aussagen zu können, oder wie mache ich das?
Danke schon mal
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Hallo,
eine Stammfunktion kannst du für dieses Integral nicht in geschlossener Form angeben.
Die kritische Stelle ist hier auch nicht 1 sondern [mm] \infty. [/mm] Der Exponent geht also gegen null, wenn [mm] x\to\infty [/mm] , wogegen strebt denn [mm] e^{\bruch{1}{x}} [/mm] ? Was kannst du aus dem Grenzwert dann über die Konvergenz des Integrals ableiten ?
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:48 Di 04.05.2010 | | Autor: | bestduo |
Ich habe auch nicht behauptet, dass 1 die kritische Stelle ist. Deswegen habe ich auch das [mm] \infty [/mm] mit n ersetzt.
[mm] e^{\bruch{1}{x}} [/mm] geht für n gegen [mm] \infty [/mm] natürlich gegen 1. Eine Reihe müsste dann ja konvergieren. Aber brauche ich nicht die Stammfunktion des uneig. Integrals um was über die Konvergenz aussagen zu können?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:53 Di 04.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo bestduo!
> Aber brauche ich nicht die Stammfunktion des uneig. Integrals um was
> über die Konvergenz aussagen zu können?
Wenn man abschätzen zu einem bekannten konvergenten Integral: nein.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 Mo 03.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo bestduo!
Auch mit Deiner Substitution kommst Du hier weiter. Vergiss jedoch nicht, die entsprechenden Integrationsgrenzen zu substituieren.
Anschließend kannst Du auch abschätzen und das neue unbestimmte Integral lösen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:52 Di 04.05.2010 | | Autor: | bestduo |
Hallo nochmal,
hmm jetzt weiß ich schon mal, dass ich doch richtig lag.
Ich weiß jetzt nur nicht wie ich nach meiner Substitution auf die Stammfunktion kommen soll?
bräuchte einen Ansatz^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:52 Di 04.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo bestduo!
Von diesem Term wirst Du m.E. keine explizite Stammfunktionbestimmen können. Du solltest erst einmal abschätzen (wie oben bereits geschrieben!) und dann die entstehende (triviale) Funktion integrieren.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 Di 04.05.2010 | | Autor: | bestduo |
Also jetzt noch mal:D :
[mm] e^{\bruch{1}{x}} [/mm] geht für [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] gegen
1. so heißt das jetzt, dass das Integral divergiert?
Oder was meinst du mit abschätzen?
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hi,
also ja, das Integral divergiert, eine mögliche Begründung ist die Tatsache, dass die Funktion im unendlichen gegen 1 strebt, denn das bedeutet, dass die hinzuaddierten Flächenstücke niemals klein genug werden, als dass es sich um einen endlichen Flächeninhalt handeln kann.
Mit abschätzen ist gemein, dass du bsp. eine kleinere Funktion findest, die im unendlichen divergiert, bzw. eine größere die im unendlichen konvergiert.
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:38 Di 04.05.2010 | | Autor: | bestduo |
Danke!
wäre eine kleine Funfktion zb. [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x} dx}? [/mm] Dieses Integral wäre ja ebenfalls divergent
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:45 Di 04.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke!
>
> wäre eine kleine Funfktion zb.
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x} dx}?[/mm] Dieses Integral
> wäre ja ebenfalls divergent
Ja damit kannst Du es auch begründen. Genau wie hier:
https://matheraum.de/read?i=679163
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 Di 04.05.2010 | | Autor: | bestduo |
Merci
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:36 Di 04.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Für x [mm] \ge [/mm] 1 ist
[mm] $e^{1/x}=1+\bruch{1}{x}+\bruch{1}{x^2*2!}+ [/mm] .... [mm] \ge1$
[/mm]
Das Integral $ [mm] \integral_{1}^{\infty}{1 dx} [/mm] $ ist divergent, also divergiert nach dem Minorantenkriterium auch das Integral $ [mm] \integral_{1}^{\infty}{e^{1/x} dx} [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Di 04.05.2010 | | Autor: | bestduo |
Also irgendwas stimmt da nicht bei deiner Potenzreihe Fred.
Hast du immer den Kehrwert von der Potenzreihe genommen? [mm] (e^{x} [/mm] = 1 + x + [mm] \bruch{x^{2}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{x^{3}}{6} [/mm] + ...)
wenn man [mm] e^{\bruch{1}{x}} [/mm] betrachtet erhält man doch nie ne 1.
beim Einsetzen kannst du doch erst mit einer 1 beginnen und das ich nicht gleich 1.
Dann ist doch auch deine ganze Aussage falsch oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 Di 04.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Also irgendwas stimmt da nicht bei deiner Potenzreihe
> Fred.
> Hast du immer den Kehrwert von der Potenzreihe genommen?
> [mm](e^{x}[/mm] = 1 + x + [mm]\bruch{x^{2}}{2}[/mm] + [mm]\bruch{x^{3}}{6}[/mm] +
> ...)
>
>
> wenn man [mm]e^{\bruch{1}{x}}[/mm] betrachtet erhält man doch nie
> ne 1.
Wieso denn nicht ?? Es ist $ [mm] e^{x} [/mm] $ = 1 + x + $ [mm] \bruch{x^{2}}{2} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{x^{3}}{6} [/mm] $ + ...
Für x setzen wir otto ein und erhalten:
$ [mm] e^{otto} [/mm] $ = 1 + otto + $ [mm] \bruch{otto^{2}}{2} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{otto^{3}}{6} [/mm] $ + ...
Nun setzen wir u ein:
$ [mm] e^{u} [/mm] $ = 1 + u + $ [mm] \bruch{u^{2}}{2} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{u^{3}}{6} [/mm] $ + ...
Zuguterletzt setzen wir statt x mal 1/x ein und erhalten:
$ [mm] e^{1/x} [/mm] $ = 1 + 1/x + $ [mm] \bruch{1}{2x^3} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{1}{6x^3} [/mm] $ + ...
alles klar ?
FRED
P.S. es ist [mm] e^{1/x}\ne \bruch{1}{e^x}
[/mm]
> beim Einsetzen kannst du doch erst mit einer 1 beginnen
> und das ich nicht gleich 1.
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> Dann ist doch auch deine ganze Aussage falsch oder?
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:03 Di 04.05.2010 | | Autor: | bestduo |
o ja habe falsch gedacht...^^
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