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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:33 Di 18.01.2005 | | Autor: | SERIF |
Hallo zusammen. Zurzeit brauche ich echt eure Hilfe, Diese Woche habe ich mich mit lineare Algebra beschäftigt, deswegen habe ich nicht von Analysis alles gebacken bekommen. Ich habe eine Aufgabe, brauche dringend eine Antwort, weil ich nicht weiß, wie ich anfangen soll. Bitte um Ihr verstandnis. Es tut mitr leid, dass ich keine anfang habe.
Sei p: [mm] \IN \to\IN [/mm] bijektiv und es gelte mit einer Zahl K [mm] \in \IN:
[/mm]
Für alle n [mm] \in \IN [/mm] |p(n)-n| [mm] \le [/mm] K.
Ist folgender Aussage wahr oder falsch? Beweisen Sie ihr Antwort.
Konvergiert [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n}, [/mm] so konvergiert [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{p(n)} [/mm] gegen den gleichen Grenzwert.
Weil ich zur Zeit für Klasur lerne, habe ich noch eine Aufgabe in Forum. Danke
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Hi SERIF,
ob es nun beim Nachweis der Konvergenz heißt, [mm]\forall \varepsilon >0 \exists n_{0}\cdots[/mm] oder [mm]\forall \varepsilon>0 \exists (n_{0}+K) \cdots[/mm], dürfte doch wohl Schnuppe sein, oder?
Falls das nicht hilft, frage nochmal!
Viel Erfolg,
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 Mi 19.01.2005 | | Autor: | SERIF |
Es tut mir leid, aber ich verstehe das immer noch nicht. habe paar vorlesungen verpasst. Für dich ist das bestimmt einfach. Aber wenn es möglich ist möchte ich eine klare Antwort haben. ich schreibe morgen eine Probeklasur. Danke nochmal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:50 Mi 19.01.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
Hi SERIF,
sorry, war doch nur 'ne Beweisidee. Habe Dir eine persönliche Nachricht mit dem kurzen Mailwechsel mit Marcel zugesandt, in der das auch steht.
Pardon - ich werde doch schon senil -
Peter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Do 28.07.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Ich habe gerade mal nach ein paar Aufgaben zur Konvergenz gesucht und dabei das hier gefunden. Leider steht hier keine Lösung. :-(
> Sei p: [mm]\IN \to\IN[/mm] bijektiv und es gelte mit einer Zahl K
> [mm]\in \IN:[/mm]
> Für alle n [mm]\in \IN[/mm] |p(n)-n| [mm]\le[/mm] K.
> Ist folgender Aussage wahr oder falsch? Beweisen Sie ihr
> Antwort.
> Konvergiert [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n},[/mm] so konvergiert
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{p(n)}[/mm] gegen den gleichen
> Grenzwert.
Verstehe ich das richtig, dass [mm] a_{p(n)} [/mm] eine Teilfolge von [mm] a_n [/mm] ist? Dann würde doch gelten, wenn man das Summenzeichen weglässt, dass aus [mm] a_n [/mm] konvergiert gegen a folgt, [mm] a_{p(n)} [/mm] konvergiert gegen a.
Dann habe ich einen Satz oder so gesucht, der sagt, wenn [mm] a_n [/mm] konvergiert, dann konvergiert auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] oder so ähnlich, habe aber leider nichts gefunden. Gibt es da was oder stimmt das gar nicht? Und umgekehrt, also wenn die Summe konvergiert, dann konvergiert auch die Folge, aber ich glaube, das stimmt nicht, oder? Uff, diese ganzen Folgen machen mich noch ganz wirr im Kopf... [confus]
Also, falls man das doch ganz anders beweisen muss, kann mir jemand mal einen Ansatz geben?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:12 Do 28.07.2005 | | Autor: | statler |
> Hallo!
> Ich habe gerade mal nach ein paar Aufgaben zur Konvergenz
> gesucht und dabei das hier gefunden. Leider steht hier
> keine Lösung. :-(
>
> > Sei p: [mm]\IN \to\IN[/mm] bijektiv und es gelte mit einer Zahl K
> > [mm]\in \IN:[/mm]
> > Für alle n [mm]\in \IN[/mm] |p(n)-n| [mm]\le[/mm] K.
> > Ist folgender Aussage wahr oder falsch? Beweisen Sie
> ihr
> > Antwort.
> > Konvergiert [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n},[/mm] so
> konvergiert
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{p(n)}[/mm] gegen den gleichen
> > Grenzwert.
Ich habe den begründeten Verdacht, daß das wahr ist. Mal so ganz grob: Bei den Abschätzungen mit der Epsilontik muß man bis n0 + K gehen statt bis n0.
(Weiß du, was bedingte Konvergenz ist? Da kann man durch Umsortieren den Wert der Reihe ändern.)
>
> Verstehe ich das richtig, dass [mm]a_{p(n)}[/mm] eine Teilfolge von
> [mm]a_n[/mm] ist?
Nee Christiane, das verstehst du nicht richtig. [mm] a_unten_p(n) [/mm] ist eine Umsortierung von [mm] a_unten_n, [/mm] weil p ja bijektiv ist. Alle Glieder von [mm] a_unten_n [/mm] kommen auch bei [mm] a_unten_p(n) [/mm] vor. Wegen der Einschränkung beim Abstand kommen sie sogar 'in der Nähe' ihrer alten Position vor.
Dann würde doch gelten, wenn man das Summenzeichen
> weglässt, dass aus [mm]a_n[/mm] konvergiert gegen a folgt, [mm]a_{p(n)}[/mm]
> konvergiert gegen a.
> Dann habe ich einen Satz oder so gesucht, der sagt, wenn
> [mm]a_n[/mm] konvergiert, dann konvergiert auch
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] oder so ähnlich, habe aber leider
> nichts gefunden.
Das kann auch nicht sein. Es gilt vielmehr, daß die [mm] a_unten_n [/mm] gegen 0 konvergieren müssen, damit [mm] Summe_a_unten_n [/mm] überhaupt konvergieren kann (notwendige Bedingung). Aber wie man an der berühmten harmonischen Reihe [mm] Summe_1_durch_n [/mm] sieht, reicht das nicht.
Gibt es da was oder stimmt das gar nicht?
> Und umgekehrt, also wenn die Summe konvergiert, dann
> konvergiert auch die Folge, aber ich glaube, das stimmt
> nicht, oder? Uff, diese ganzen Folgen machen mich noch ganz
> wirr im Kopf... [confus]
>
> Also, falls man das doch ganz anders beweisen muss, kann
> mir jemand mal einen Ansatz geben?
>
> Viele Grüße
> Bastiane
>
>
LG aus HH-Harburg
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