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Konvergente Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:42 Di 16.01.2018
Autor: gopro

Aufgabe
1. Rechnen Sie die Behauptung aus Beispiel 6.20 nach. Zeigen Sie also, dass [mm] \summe_{k=2}^{n} [/mm] 1/((k−1)k) =1− (1/n) gilt.

2. Reihen auf Konvergenz untersuchen
a) [mm] \summe_{k=1}^{n} 1/(\wurzel[k]{k}) [/mm]
b) [mm] \summe_{v=1}^{n} (-1)^v/(\wurzel[3]{v}) [/mm]



Die Nummer 1 brauch ich für meine Übung, die anderen beiden Aufgaben würde ich gerne für die Klausur verstehen.

Bei der 2b hab ich schon mithilfe des Quotientenkriteriums heraus, dass man den lim [mm] (\wurzel[3]{1/(1+(1/v))} [/mm] berechnen muss, nur weiß ich hier nicht ob die Folge konvergent ist, da der Grenwert an die 1 herangeht diese aber nicht erreicht und eine Reihe nur bei <1 konvergent ist?

Bei der a habe ich keinen richtigen Ansatz gefunden

        
Bezug
Konvergente Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:46 Di 16.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> 1. Rechnen Sie die Behauptung aus Beispiel 6.20 nach.
> Zeigen Sie also, dass [mm]\summe_{k=2}^{n}[/mm] 1/((k−1)k) =1−
> (1/n) gilt.

>

> 2. Reihen auf Konvergenz untersuchen
> a) [mm]\summe_{k=1}^{n} 1/(\wurzel[k]{k})[/mm]
> b) [mm]\summe_{v=1}^{n} (-1)^v/(\wurzel[3]{v})[/mm]

>
>

> Die Nummer 1 brauch ich für meine Übung, die anderen
> beiden Aufgaben würde ich gerne für die Klausur
> verstehen.

>

> Bei der 2b hab ich schon mithilfe des Quotientenkriteriums
> heraus, dass man den lim [mm](\wurzel[3]{1/(1+(1/v))}[/mm] berechnen
> muss, nur weiß ich hier nicht ob die Folge konvergent ist,
> da der Grenwert an die 1 herangeht diese aber nicht
> erreicht und eine Reihe nur bei <1 konvergent ist?

>

> Bei der a habe ich keinen richtigen Ansatz gefunden

Aufgabe 1: Stichwort 'Teleskopsummen'

Aufgabe 2a: hier gibt es eine denkbar einfache divergente Minorante. Es geht aber noch viel einfacher: siehe dazu die Antwort von fred97!

Aufgabe 2b: Leibniz-Kriterium (also begründen, weshalb das hier greift).


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Konvergente Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:02 Di 16.01.2018
Autor: fred97


> 1. Rechnen Sie die Behauptung aus Beispiel 6.20 nach.
> Zeigen Sie also, dass [mm]\summe_{k=2}^{n}[/mm] 1/((k−1)k) =1−
> (1/n) gilt.
>  
> 2. Reihen auf Konvergenz untersuchen
>  a) [mm]\summe_{k=1}^{n} 1/(\wurzel[k]{k})[/mm]
>  b) [mm]\summe_{v=1}^{n} (-1)^v/(\wurzel[3]{v})[/mm]
>  
>
> Die Nummer 1 brauch ich für meine Übung, die anderen
> beiden Aufgaben würde ich gerne für die Klausur
> verstehen.
>  
> Bei der 2b hab ich schon mithilfe des Quotientenkriteriums
> heraus, dass man den lim [mm](\wurzel[3]{1/(1+(1/v))}[/mm] berechnen
> muss, nur weiß ich hier nicht ob die Folge konvergent ist,
> da der Grenwert an die 1 herangeht diese aber nicht
> erreicht und eine Reihe nur bei <1 konvergent ist?
>  
> Bei der a habe ich keinen richtigen Ansatz gefunden


Zu 2a): ist

      $( [mm] 1/(\wurzel[k]{k})) [/mm] $ eine Nullfolge ?

Bezug
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