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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:51 Sa 13.05.2006 | | Autor: | papillon |
| Aufgabe | Gegeben ist die Reihe:
[mm] \summe_{n=2}^{\infty}\bruch{cos(\bruch{\pi n^{2}}{n+1})}{ln^{2}n} [/mm] |
Den Zähler kann ich ja wohl als kleiner gleich 1 annehmen.
Dann weiß ich aber nicht so recht weiter, wie mach ich das mit dem ln?
Danke schon mal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 Mi 17.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo papillon!
Betrachten wir uns mal das Argument des Zählers:
[mm] $\pi*\bruch{n^{2}}{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \pi*\left(n-1+\bruch{1}{n+1}\right) [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ [mm] \pi*(n-1) [/mm] \ = \ [mm] k*\pi$
[/mm]
Damit ist nun auch klar, dass das Argument für immer größer werdende $n_$ sich immer mehr einem ganzzahligen Vielfachen von [mm] $\pi$ [/mm] annähert.
Und für [mm] $k*\pi$ [/mm] wechselt der Cosinus-Wert immer ständig zwischen den beiden Werten $+1$ und $-1$ hin und her.
Damit haben wir nun eine alternierende Reihe, deren Zähler man auch betragsmäßig nach oben durch $+1_$ abschätzen kann.
Damit sollte sich als Kombination von Majoranten-Kriterium und Leibniz-Kriterium die Konvergenz zeigen lassen.
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
Interessanter Ansatz 
Damit man die Voraussetzungen des Leibnitz-Kriteriums wirklich nutzen kann würde ich papillon vorschlagen nochmal an Aditionstheoreme zu denken so das dann wirklich [mm] \cos(k*\pi) [/mm] dasteht. Das mit dem Grenzwert finde ich etwas gewagt.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:02 Mi 17.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathemaduenn!
> Interessanter Ansatz
Sagen wir mal ... "kreativ", oder? 
> Das mit dem Grenzwert finde ich etwas gewagt.
Ja, ist wohl so ein wenig Bauch- und Gefühlsargumentation statt saubere Beweisführung gewesen ... ich gestehe ja!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:10 Fr 19.05.2006 | | Autor: | papillon |
Also, ich habs jetzt so gemacht:
1. Nach den addtionstheoremen kann ich den cos term umformen und ein [mm] (-1)^{n} [/mm] ausklammern.
Die neue form der Reihe habe ich dann mit dem leibnizkriterium untersucht:
[mm] \summe_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{cos(\bruch{\pi(n^{2})}{n+1}-\pi n)}{ln^{2}n}
[/mm]
Die Reihe konvergiert also nach Leibniz, denn der cos term strebt gegen -1 und [mm] ln^{2}n [/mm] geht gegen unendlich. Die folge ist zudem also monoton fallend.
Ist das so ok? Das müsste doch gut "schmecken".
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Hallo papillon,
> Also, ich habs jetzt so gemacht:
>
> 1. Nach den addtionstheoremen kann ich den cos term
> umformen und ein [mm](-1)^{n}[/mm] ausklammern.
>
> Die neue form der Reihe habe ich dann mit dem
> leibnizkriterium untersucht:
>
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{cos(\bruch{\pi(n^{2})}{n+1}-\pi n)}{ln^{2}n}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die Reihe konvergiert also nach Leibniz, denn der cos term
> strebt gegen -1 und [mm]ln^{2}n[/mm] geht gegen unendlich. Die folge
> ist zudem also monoton fallend.
Daraus folgt zunächst nur das [mm] \bruch{cos(\bruch{\pi(n^{2})}{n+1}-\pi n)}{ln^{2}n} [/mm] eine Nullfolge ist. Außerdem ist diese Folge monoton steigend. Was aber noch zu zeigen wäre. Also mußt Du noch ein wenig rühren.
viele Grüße
mathemaduenn
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![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
![[grummel]](/images/smileys/grummel.gif "[grummel]"){kind=small}
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
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