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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 So 08.12.2013 | | Autor: | lula94 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die foldende Reihe konvergiert, indem Sie nachweisen, dass die Folge der Partiansumme beschränkt ist.
$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n*2^n} [/mm] \ $ |
Hallo,
seit Stunden kämpfe ich mit dieser Aufgabe und komme einfach nicht weiter. Die Folge [mm] s_n [/mm] mit [mm] n{\in}N [/mm] ist beschränkt, wenn [mm] s_n [/mm] konvergiert und/oder wenn gilt [mm] s_n [/mm] < [mm] s_{n+1}.
[/mm]
Leider scheitert es schon daran, aus der Summe gleich [mm] s_n [/mm] zu formulieren.
Mit dem Quotientenkriterium schaffe ich es zwar zu beweisen, dass die Summe konvergiert, aber man soll ja zuerst nachweisen, dass die Partialsumme beschränkt ist und DANN erst auf die Konvergenz kommen.
Hat jemand einen Tipp, wie man da anfangen könnte bzw. wie man auf [mm] s_n [/mm] kommt?
LG und vielen Dank im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 So 08.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> Zeigen Sie, dass die foldende Reihe konvergiert, indem Sie
> nachweisen, dass die Folge der Partiansumme beschränkt
> ist.
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n*2^n} \[/mm]
> Hallo,
> seit Stunden kämpfe ich mit dieser Aufgabe und komme
> einfach nicht weiter. Die Folge [mm]s_n[/mm] mit [mm]n{\in}N[/mm] ist
> beschränkt, wenn [mm]s_n[/mm] konvergiert und/oder wenn gilt [mm]s_n[/mm] <
> [mm]s_{n+1}.[/mm]
> Leider scheitert es schon daran, aus der Summe gleich [mm]s_n[/mm]
> zu formulieren.
>
> Mit dem Quotientenkriterium schaffe ich es zwar zu
> beweisen, dass die Summe konvergiert, aber man soll ja
> zuerst nachweisen, dass die Partialsumme beschränkt ist
> und DANN erst auf die Konvergenz kommen.
>
> Hat jemand einen Tipp, wie man da anfangen könnte bzw. wie
> man auf [mm]s_n[/mm] kommt?
>
> LG und vielen Dank im Voraus!
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Betrachten wir doch eine Reihe der Form [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] mit [mm] (a_n)_{a\in\IN} [/mm] und [mm] a_n\in\IR.
[/mm]
Die Partialsummen der Reihe erhalten wir wie folgt:
[mm] S_1=a_1
[/mm]
[mm] S_2=a_1+a_2
[/mm]
[mm] \ldots
[/mm]
[mm] S_N=a_1+\ldots+a_N=\summe_{n=1}^{N}a_n
[/mm]
Die Partialsummenfolge der Reihe ist dann mit [mm] (s_N)_{N\in\IN} [/mm] gegeben.
Die Reihe konvergiert genau dann, wenn ihre Partialsummenfolge konvergiert. Dann schreiben wir:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n=a:=\limes_{N\rightarrow\infty}s_N=\limes_{N\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{N}a_n
[/mm]
Du sollst nun zeigen, dass die Reihe konvergiert und zwar mit der Monotonie, d.h. dass für fast alle Indizes [mm] n\in\IN:a_n\ge [/mm] 0 gilt und das die Partialsummefolge [mm] s_N [/mm] nach oben beschränkt ist. Dann existiert ein hinreichend großes [mm] M\in\IN, [/mm] sodass [mm] a_M [/mm] monoton wächst und beschänkt ist und damit konvergent!
Jetzt bist du dran!
Gruß
DieAcht
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Hallo,
würdest du sagen, dass die Partialsummenfolge von
[mm] \sum_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2^n}
[/mm]
beschränkt ist? Falls du (hoffentlich schnell) zu einem positiven Ergebnis kommst, dann sei dir ein gewisses Majorantenkriterium ans Herz gelegt.
Gruß, Diophant
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