Konvergente Summe bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Folgendes Beispiel:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \summe_{n=0}^{k} \bruch{2^{n}}{3^{n^{2}+n+1}}
[/mm]
Diese Summe ist konvergent und es soll der Wert bestimmt werden, zu dem sie konvergiert. Dies ist ein BEISPIEL. Ich bin nicht an einer Lösung dieses Problemes interessiert.
Viel mehr geht es mir um allgemeine Sätze, Definitionen, Lösungsstrategien und Tricks diesen Typ von Aufgaben zu lösen.
Wie geht man hier am besten ran.
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Hallo,
> Folgendes Beispiel:
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> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \summe_{n=0}^{k} \bruch{2^{n}}{3^{n^{2}+n+1}}[/mm]
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> Diese Summe ist konvergent und es soll der Wert bestimmt
> werden, zu dem sie konvergiert. Dies ist ein BEISPIEL. Ich
> bin nicht an einer Lösung dieses Problemes interessiert.
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> Viel mehr geht es mir um allgemeine Sätze, Definitionen,
> Lösungsstrategien und Tricks diesen Typ von Aufgaben zu
> lösen.
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> Wie geht man hier am besten ran.
Sei $k$ der Summationsindex.
Allgemeine Möglichkeiten zur Bestimmung des Werts der Summe / Reihe:
1) Geometrische Summenformel / Geometrische Reihe bei Summanden, wo $k$ nur im Exponenten vorkommt
2) Partialbruchzerlegung bei Summen, die z.B. nur polynomielle Brüche beinhalten : z.B. [mm] $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{n}\Big(\frac{1}{k} [/mm] - [mm] \frac{1}{k+1}\Big)$, [/mm] dann ein Teleskopsummenargument.
3) "Kleiner Gauß" und verwandte Summenformeln: [mm] $\sum_{k=1}^{n}k [/mm] = [mm] \frac{n(n+1)}{2}$ [/mm] etc.
4) Potenzreihenformeln (Taylorreihe): [mm] $\exp(x) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}$, [/mm] ähnlich für Sinus, Cosinus, Logarithmus
5) Ableitungen von Potenzreihen: Zum Beispiel für $|x| < 1$ : [mm] $\frac{1}{1-x} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}x^k$, [/mm] daher für $|x| < 1$: [mm] $\frac{1}{(1-x)^2} [/mm] = [mm] d/dx\Big(\frac{1}{1-x}\Big) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}k \cdot x^{k-1}$.
[/mm]
6) Fourierreihen, Parsevalsche Gleichung.
7) Riemann-Summen zur Approximation von Integralen (passt nicht genau auf dein Problem)
Gerade mit 5), 6) lassen sich viele allgemeine Reihen berechnen.
Viele Grüße,
Stefan
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