Konvergenz+Grenzwert Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Sa 24.04.2010 | | Autor: | yogi_inf |
| Aufgabe | > H4. Untersuchen Sie die folgenden Zahlenfolgen [mm] (a_{n}) [/mm] auf
Konvergenz, und bestimmen Sie gegebenenfalls
ihren Grenzwert:
(a) an = [mm] 3^{-n}(2^{n} [/mm] + [mm] (-2)^{n})
[/mm]
(b) an = [mm] 2^{−n}(2^{n} [/mm] + [mm] (-2)^{n})
[/mm]
(c) an = (1 − (n − [mm] 2)^{−1})^{n+5}
[/mm]
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Hallo,
ich tu mich mit dem Begriff der Konvergenz ein bisschen schwer.
Ich weiß, dass aus Konvergenz Beschränktheit resultiert.
EBenso, dass eine Folge die nicht monoton ist, trotzdem konvergent sein kann.
ABer leider nicht, wie ich das beweise.
bei a) hab ich eine Fallunterscheidung für ungerade und gerade n gemacht.
bei geraden n gilt: [mm] a_{n}= [/mm] 2 * [mm] 2^{n}/3^{n}
[/mm]
bei ungeraden n gilt: [mm] a_{n}=3^{-n}*0 [/mm] = 0
Die Zahlenreihe scheint gegen 0 zu konvergieren.
Monotonie nicht vorhanden, da die Folge mal wächst, mal fällt.
Vermutung: Grenzwert n-> [mm] \infty [/mm] =0
Nur wie ist der Ansatz, das mathematisch zu beweisen?
bei b)
Durch umstellen ergibt sich diesmal:
bei geraden n gilt: [mm] a_{n}= [/mm] 2 * [mm] 2^{n}/2^{n}= [/mm] 2
bei ungeraden n gilt: [mm] a_{n}=3^{-n}*0 [/mm] = 0
Vermutung: Grenzwert n-> [mm] \infty [/mm] =2
Für eine Idee wie ich das Beweisen kann wär ich dankbar :)
gruß
yogi
edit: falsche Potenzen in Aufgabenstellung korrigiert!
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Hallo,
> H4. Untersuchen Sie die folgenden Zahlenfolgen (an) auf
> Konvergenz, und bestimmen Sie gegebenenfalls
> ihren Grenzwert:
> (a) an = 3−n(2n + (−2)n)
> (b) an = 2−n(2n + (−2)n)
> (c) an = (1 − (n − 2)−1)n+5
So, wie das dasteht, gilt:
(a) [mm] a_n [/mm] = 3−n(2n + (−2)n) = 3-n(2n-2n) = 3-n*0 = 3
$\ [mm] \Rightarrow \lim_{n \to \infty} a_n [/mm] = 3 $
Bei (b) das selbe mit dem Grenzwert $\ [mm] \Rightarrow \lim_{n \to \infty} a_n [/mm] = 2 $
Multiplizier bei (c) doch mal die Klammern aus und betrachte dann den Grenzwert.
> Hallo,
> ich tu mich mit dem Begriff der Konvergenz ein bisschen
> schwer.
> Ich weiß, dass aus Konvergenz Beschränktheit
> resultiert.
> EBenso, dass eine Folge die nicht monoton ist, trotzdem
> konvergent sein kann.
> ABer leider nicht, wie ich das beweise.
>
> bei a) hab ich eine Fallunterscheidung für ungerade und
> gerade n gemacht.
>
> bei geraden n gilt: [mm]a_{n}=[/mm] 2 * [mm]2^{n}/3^{n}[/mm]
> bei ungeraden n gilt: [mm]a_{n}=3^{-n}*0[/mm] = 0
>
> Die Zahlenreihe scheint gegen 0 zu konvergieren.
> Monotonie nicht vorhanden, da die Folge mal wächst, mal
> fällt.
> Vermutung: Grenzwert n-> [mm]\infty[/mm] =0
> Nur wie ist der Ansatz, das mathematisch zu beweisen?
>
> bei b)
> Durch umstellen ergibt sich diesmal:
> bei geraden n gilt: [mm]a_{n}=[/mm] 2 * [mm]2^{n}/2^{n}=[/mm] 2
> bei ungeraden n gilt: [mm]a_{n}=3^{-n}*0[/mm] = 0
>
> Vermutung: Grenzwert n-> [mm]\infty[/mm] =2
>
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> Für eine Idee wie ich das Beweisen kann wär ich dankbar
> :)
> gruß
> yogi
>
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Sa 24.04.2010 | | Autor: | yogi_inf |
| Aufgabe | > H4. Untersuchen Sie die folgenden Zahlenfolgen (an) auf
> Konvergenz, und bestimmen Sie gegebenenfalls
> ihren Grenzwert:
> (a) an = [mm] 3^{-n}(2^{n} [/mm] + [mm] (-2)^{n})
[/mm]
> (b) an = [mm] 2^{−n}(2^{n} [/mm] + [mm] (-2)^{n})
[/mm]
> (c) an = (1 − (n − [mm] 2)^{−1})^{n+5}
[/mm]
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Sry, da hat sich leider beim kopieren ein FOrmatierungsfehler eingeschlichen.
abgesehen von c) sind alle n Potenzen.
So jetzt ist es richtig.
sry für die verwirrung.
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Hallo,
> > H4. Untersuchen Sie die folgenden Zahlenfolgen (an) auf
> > Konvergenz, und bestimmen Sie gegebenenfalls
> > ihren Grenzwert:
> > (a) an = [mm]3^{-n}(2^{n}[/mm] + [mm](-2)^{n})[/mm]
> > (b) an = [mm]2^{−n}(2^{n}[/mm] + [mm](-2)^{n})[/mm]
> > (c) an = (1 − (n − [mm]2)^{−1})^{n+5}[/mm]
(a) an = [mm]3^{-n}(2^{n} + (-2)^{n})= \frac{2^{n} + (-2)^{n}}{3^n} = \frac{2^{n} + (-2)^{n}}{3^n} = \frac{2^{n}}{3^n} + \frac{(-2)^{n}}{3^n} = \left(\frac{2}{3}\right)^n + \left(-\frac{2}{3}\right)^n = \left(\frac{1}{3}\right)^n(2^n+(-2)^n)[/mm]
Für $\ n = 2k $ :
$\ [mm] \left(\frac{1}{3}\right)^{2k}(2^{2k}+(-2)^{2k}) [/mm] = [mm] \left(\frac{1}{9}\right)^{k}(4^{k}+4^{k}) [/mm] = [mm] \left(\frac{1}{9}\right)^{k}(2*4^k) [/mm] = 2 [mm] \left(\frac{4}{9}\right)^{k}$
[/mm]
$\ [mm] \lim_{k \to \infty} a_{2k} [/mm] = 0 $, da der Nenner schneller gegen Null konvergiert als Zähler.
Jetzt gilt es noch $\ [mm] a_{2k-1} [/mm] $ zu untersuchen.
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> Sry, da hat sich leider beim kopieren ein
> FOrmatierungsfehler eingeschlichen.
> abgesehen von c) sind alle n Potenzen.
>
> So jetzt ist es richtig.
> sry für die verwirrung.
Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:41 So 25.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo yogi_inf!
Klammere zunächst [mm] $2^n$ [/mm] aus. Dann musst Du unterscheiden in gerade und ungerade $n_$ .
Wenn sich hier jeweils unterschiedliche Werte / Grenzwerte ergeben, existiert für die Gesamtfolge kein eindeutiger Grenzwert [mm] $\Rightarrow$ [/mm] nicht konvergent!
Gruß
Loddar
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Hallo,
> > (c) an = (1 − (n − [mm] 2)^{-1})^{n+5}
[/mm]
Also
[mm] $a_{n}:=\left(1-\frac{1}{n-2}\right)^{n+5}$.
[/mm]
Um den Grenzwert zu bestimmen, benötigst du die Formel
[mm] $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^{n}=e^{a}$
[/mm]
für [mm] $a\in\IR$.
[/mm]
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 So 25.04.2010 | | Autor: | yogi_inf |
Okay danke erstmal euch allen für die Hilfe.
a und b hab ich soweit verstanden. a konvergiert gegen 0 bei mir und b ist divergent.
bei c bin ich mir jetzt nicht ganz sicher ob meine Umformungen so okay sind, daher schreib ich die hier nochmal:
[mm] a_{n}=(1-(n-2)^{-1})^{n+5}=(1-1/n*1/(1+2/n))^{n+5}
[/mm]
So für n gegen unendlich müsste gelten: n+5=n , da die +5 bei Betrachtung [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] irrelevant werden.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1-1/n * [mm] 1/(1+2/n))^{n+5} [/mm] = (1-1/n [mm] *1/1)^{n}
[/mm]
Da 2/n = 0 und n+5 =n bei n gegen unendlich.
=> [mm] (1-1/n)^{n}=e^{-1} [/mm] (laut Formelsammlung Merzinger)
Ist das so in Ordnung?
edit: das mit den Bruchstrichen klappt nicht so recht^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 So 25.04.2010 | | Autor: | dormant |
> Okay danke erstmal euch allen für die Hilfe.
> a und b hab ich soweit verstanden. a konvergiert gegen 0
> bei mir und b ist divergent.
> bei c bin ich mir jetzt nicht ganz sicher ob meine
> Umformungen so okay sind, daher schreib ich die hier
> nochmal:
>
> [mm]a_{n}=(1-(n-2)^{-1})^{n+5}=(1-1/n*1/(1+2/n))^{n+5}[/mm]
> So für n gegen unendlich müsste gelten: n+5=n , da die
> +5 bei Betrachtung [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] irrelevant
> werden.
Naja, das stimmt intuitiv schon, aber ist etwas unpräzise, da der Unterschied zwischen dem n in dem Nenner und in dem Exponent immerhin fünf ist. Besser ist, du schreibst [mm] a_n=b_n^5*b_n^n, [/mm] wobei [mm] b_n [/mm] offensichtlich der Term in der Klammer ist. Dann untersuchst du zunächst [mm] b_n, [/mm] dann [mm] b_n^n.
[/mm]
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (1-1/n * [mm]1/(1+2/n))^{n+5}[/mm] =
> (1-1/n [mm]*1/1)^{n}[/mm]
>
> Da 2/n = 0 und n+5 =n bei n gegen unendlich.
>
> => [mm](1-1/n)^{n}=e^{-1}[/mm] (laut Formelsammlung Merzinger)
Gut erkannt.
> Ist das so in Ordnung?
Fast.
> edit: das mit den Bruchstrichen klappt nicht so recht^^
>
Grüße,
dormant
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