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| Aufgabe | Untersuchen sie auf Konvergenz und Berechnen sie gegebenenfalls:
[mm] \integral_{0}^{1/e}\bruch{1}{x*ln(x)^2} \, [/mm] dx |
Hallöchen:)
Hab das ganze erstmal umgestellt zu:
[mm] \integral_{0}^{1/e}ln(x)^{-2}*\bruch{1}{x}\, [/mm] dx
und dann partielle Integration angewandt wobei ich ich v´als 1/x wähle und das andere als u:
Dann erhalte ich
[mm] ln(x)^{-2}*ln(x)-\integral_{0}^{1/e}-2*ln(x)^{-1}*ln(x)*1/x\, [/mm] dx
was mich zu
[mm] \bruch{ln(x)}{ln(x)^2}+2\integral_{0}^{1/e}\bruch{ln(x)}{ln(x)}*1/x\, [/mm] dx
und somit zu der Stammfunktion
[mm] F(x)=\bruch{1}{ln(x)}+2ln(x) [/mm] führt.
An dieser Stelle weiß ich dann nicht wie ich weiter machen soll, da beim einsetzen der Grenzen das Problem auftritt das ich ln(0) bekomme.
Was kann ich tun??:)
mfg mathefreak
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Hallo mf,
> Untersuchen sie auf Konvergenz und Berechnen sie
> gegebenenfalls:
>
> [mm]\integral_{0}^{1/e}\bruch{1}{x*ln(x)^2} \,[/mm] dx
>
>
> Hallöchen:)
>
> Hab das ganze erstmal umgestellt zu:
>
> [mm]\integral_{0}^{1/e}ln(x)^{-2}*\bruch{1}{x}\,[/mm] dx
>
> und dann partielle Integration angewandt wobei ich ich
> v´als 1/x wähle und das andere als u:
>
> Dann erhalte ich
>
> [mm]ln(x)^{-2}*ln(x)-\integral_{0}^{1/e}-2*ln(x)^{-1}*ln(x)*1/x\,[/mm]
> dx
>
> was mich zu
>
> [mm]\bruch{ln(x)}{ln(x)^2}+2\integral_{0}^{1/e}\bruch{ln(x)}{ln(x)}*1/x\,[/mm]
> dx
>
> und somit zu der Stammfunktion
>
> [mm]F(x)=\bruch{1}{ln(x)}+2ln(x)[/mm] führt.
Probe durch Ableiten:
[mm]F'(x)=-\frac{1}{x\ln^2(x)}+\frac{2}{x}[/mm] - passt also nicht.
Das Integral bekommst du leicht mit der Substitution [mm]u=u(x):=\ln(x)[/mm] in den Griff ...
Für die Betrachtung der unteren Grenze, setze [mm]t>0[/mm] fest ein und lasse am Ende [mm]t\to 0[/mm] gehen ...
>
> An dieser Stelle weiß ich dann nicht wie ich weiter machen
> soll, da beim einsetzen der Grenzen das Problem auftritt
> das ich ln(0) bekomme.
Das wäre [mm]-\infty[/mm]
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> Was kann ich tun??:)
Erstmal die richtige Stfk. ausrechnen 
> mfg mathefreak
LG
schachuzipus
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Also ich wäre dann jetz bei folgendem angekommen
[mm] \integral_{0}^{1/e}\bruch{x}{x*u^2} \, [/mm] du
bei der Substitution. x gekürzt und ich erhalte
[mm] \integral_{0}^{1/e}u^{-2} \, [/mm] du
und somit die Stammfunktion nach rücksubstitution:
[mm] F(x)=-\bruch{1}{ln(x)}
[/mm]
mit den Grenzen:
[mm] -\bruch{1}{ln(1/e)}+ \limes_{t \to\(0)}\bruch{1}{ln(t)}
[/mm]
War das so von dir gemeint??
Ist die Stammfunktion richtig?
Wie mach ich an der Stelle weiter^^?
Und wieso hat es mit der Partiellen integration nicht geklappt? Wo lag da der Fehler??Würd mich noch interessieren
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Hallo Mathefreak,
> [mm]\integral_{0}^{1/e}u^{-2} \,[/mm] du
Das ist so nicht richtig.
Wenn du bei einem Integral mit Grenzen substituierst, musst du natürlich die Grenzen mitsubstituieren.
> und somit die Stammfunktion nach Rücksubstitution:
>
> [mm]F(x)=-\bruch{1}{ln(x)}[/mm]
Wenn du nur die Stammfunktion berechnen willst, ist das richtig....
>
> mit den Grenzen:
>
> [mm]-\bruch{1}{ln(1/e)}+ \limes_{t \to 0}\bruch{1}{ln(t)}[/mm]
Ja, das käme raus, wenn du alles richtig aufgeschrieben hättest.
Darum solltest du auch VOR dem Substituieren die Integralgrenze anpassen, also anstatt:
$ [mm] \integral_{0}^{1/e}\bruch{1}{x\cdot{}ln(x)^2} \, [/mm] $ dx
[mm] $\lim_{t \to 0} \integral_{t}^{1/e}\bruch{1}{x\cdot{}ln(x)^2} \, [/mm] dx$
Und jetzt das Ganze für das (bestimmte) Integral [mm] $\integral_{t}^{1/e}\bruch{1}{x\cdot{}ln(x)^2} \, [/mm] dx $ berechnen.
Zusammengefasst: Dein Ergebnis ist richtig, aber nur, weil du zwei Fehler gemacht hast, die sich gegenseitig aufgehoben haben.
Oder: Du bestimmst erst die Stammfunktion über ein unbestimmtes Integral (ohne Grenzen) und setzt diese dann in dein bestimmtes Integral ein.
Aber so ein bisschen von beidem ist falsch.
MFG,
Gono.
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$ [mm] \lim_{t \to 0} \integral_{t}^{1/e}\bruch{1}{x\cdot{}ln(x)^2} \, [/mm] dx $
Also hab ich dann ja
[mm] \lim_{t \to 0} [-\bruch{1}{ln(1/e)}+\bruch{1}{ln(t)}]
[/mm]
aber wie verhält sich den ln gegen 0??
mfg mathefreak
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Hallo nochmal,
> [mm]\lim_{t \to 0} \integral_{t}^{1/e}\bruch{1}{x\cdot{}ln(x)^2} \, dx[/mm]
>
> Also hab ich dann ja
>
> [mm]\lim_{t \to 0} [-\bruch{1}{ln(1/e)}+\bruch{1}{ln(t)}][/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> aber wie verhält sich den ln gegen 0??
Na, du kennst doch den Graphen der Logarithmusfunktion, oder nicht?
Es ist [mm]\ln(t)\to-\infty[/mm] für [mm]t\to 0[/mm]
Also [mm]\frac{1}{\ln(t)}\to ...[/mm] für [mm]t\to 0[/mm]
>
> mfg mathefreak
Gruß
schachuzipus
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$ [mm] \ln(t)\to-\infty [/mm] $ für $ [mm] t\to [/mm] 0 $
Also $ [mm] \frac{1}{\ln(t)}\to \infty [/mm] $ für $ [mm] t\to [/mm] 0 $
so??
Hatte den graphen anders im Kopf
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Hallo nochmal,
> [mm]\ln(t)\to-\infty[/mm] für [mm]t\to 0[/mm]
>
> Also [mm]\frac{1}{\ln(t)}\to \infty[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") für [mm]t\to 0[/mm]
Was ist denn [mm]\frac{1}{-1000000}[/mm] ungefähr?
> so??
>
> Hatte den graphen anders im Kopf
>
Hmm, Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
> 0???^^
Ja sicher!
Also ergibt sich als Wert für das Integral ...
Gruß
schachuzipus
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1?
WAr ja ne schwere geburt xD
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Hallo nochmal,
> 1?
>
> WAr ja ne schwere geburt xD
Ja, aber hier sind ja genügend Hebammen und Hebammeriche
Gruß
schachuzipus
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| Aufgabe | | [mm] \integral_{1}^{2} \bruch{1}{x*ln(x)}\, [/mm] dx |
Ich bins nochmal:
Da die obige Aufgabe ähnlich ist und ich sie glaube ich richtig gelöst habe stell ich die mal kurz hier mit rein.
Hab genauso substituiert wie vorher also u=ln(x)
und erhalte dadurch erstmal ohne die Grenzen zu beachten für die Stammfunktion
F(x)=ln(ln(x))
mit den Grenzen hätte ich dann ja
ln(ln(2))-ln(ln(1))
Dann habe ich erstmal ln(1)=0 berechnet und dann wie folgt aufgeschrieben.
[mm] ln(ln(2))-\limes_{t \to 0}ln(ln(t))
[/mm]
was dann ja wie vorher gegen [mm] -\infty [/mm] geht was mich zu [mm] \infty [/mm] für den Wert des Integrals führt.
Darf ich das so machen erst ln(1) ausrechnen und dann mit t ersetzen?
mfg mathefreak
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