Konvergenz-Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:30 Do 17.11.2011 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Man zeige, dass die durch [mm] a_1 [/mm] = 1/2 und
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] 2a_n [/mm] - [mm] a_n^2
[/mm]
n [mm] \in \IN
[/mm]
de finierte Folge konvergiert und bestimme ihren Grenzwert. |
[mm] a_n [/mm] ->a
a= 2a - [mm] a^2
[/mm]
0= a - [mm] a^2= a^2 [/mm] - a
a = 1
Könnt ihr mir da weiterhelfen?
Möchte mögliche Konvergenz zeigen mit geeigneten Epsilon, oder ist das keine guter Weg?
[mm] |a_{n+1} [/mm] -1|= [mm] |2a_n [/mm] - [mm] a_n^2 [/mm] -1| < [mm] 2a_n [/mm] - [mm] a_n^2 [/mm] -1
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Hallo sissile,
man kann auch zu wenig schreiben. 
> Man zeige, dass die durch [mm]a_1[/mm] = 1/2 und
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]2a_n[/mm] - [mm]a_n^2[/mm]
> n [mm]\in \IN[/mm]
> de finierte Folge konvergiert und bestimme
> ihren Grenzwert.
> [mm]a_n[/mm] ->a
>
> a= 2a - [mm]a^2[/mm]
Das ist ohne Erklärung nichtig.
Du gehst hier von [mm] \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}a_{n+1} [/mm] aus. Das musst du angeben.
> 0= a - [mm]a^2= a^2[/mm] - a
> a = 1
Das ist nicht die vollständige Lösungsmenge. Es gibt noch ein a, das die Gleichung erfüllt.
> Könnt ihr mir da weiterhelfen?
> Möchte mögliche Konvergenz zeigen mit geeigneten
> Epsilon, oder ist das keine guter Weg?
Wie immer: Monotonie, Beschränktheit.
> [mm]|a_{n+1}[/mm] -1|= [mm]|2a_n[/mm] - [mm]a_n^2[/mm] -1| < [mm]2a_n[/mm] - [mm]a_n^2[/mm] -1
Das wird nicht klappen. Und wenn die Relation [mm] \le [/mm] ist, dann ist die Ungleichung trivial.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:45 Do 17.11.2011 | | Autor: | sissile |
ja noch [mm] a_2=0
[/mm]
Sind dass dann obere und untere Schranke?
Warum wird dass nicht klappen?
> Das wird nicht klappen.
Konvergenz kann man ja beweisen durch explizite angabe eines N [mm] (\varepsilon) [/mm] aus der Definition der Konvergenz.
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Hallo,
> Konvergenz kann man ja beweisen durch explizite angabe
> eines N [mm](\varepsilon)[/mm] aus der Definition der Konvergenz.
das basiert ja auf dem Epsilonkriterium
[mm]|a_n-g|<\epsilon[/mm]
für jedes [mm] \epsilon>0. [/mm] In dieser Definition ist [mm] a_n [/mm] das allgemeine Folgenglied in expliziter Form, so dass du die Ungleichung entweder nach n auflösen oder zumindest für n abschätzen kannst. Der langen Rede kurzer Sinn: das funktioniert nur, wenn die Folge explizit vorliegt, nicht aber bei einer rekursiven Definition wie im vorliegenden Fall.
Die Monotonie kannst du hier leicht über die Differenz
[mm]a_{n+1}-a_n[/mm]
zeigen.
Die Beschränkheit zu zeigen erfordert in solchen Fällen gerne den einen oder anderen Trick. Ich hätte diesen anzubieten: verwende die Faktorisierung
[mm]a_{n+1}=2*a_n-{a_n}^2=a_n*(2-a_n)[/mm]
Verwende diese Faktorisierung zusammen mit der Tatsache, dass der Startwert aus dem Intervall (0,1) kommt.
Vielleicht fällt hier ja aber jemand anderem noch ein eleganterer Lösungsweg ein.
Die zweite Lösung deiner quadratischen Gleichung hat folgende Bewandnis: in diese Rechnung geht ja der Startwert nicht mit ein. In diesem Fall ist es so, dass es einen möglichen Startwert gibt, nämlich [mm] a_0=2, [/mm] für den alle Folgenglieder ab dem zweiten Null sind. Und das kommt eben in diesem Fall bei der Berechnung des Grenzwertes so nebenbei auch mit heraus.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:11 Fr 18.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Weitere Möglichkeit:
Es gilt: [mm] $a_{n+1}=-1+2a_n-a_n^2+1=1-(a_n-1)^2$. [/mm] Somit ist [mm] $a_{n+1}-1=-(a_n-1)^2$, [/mm] also
(*) [mm] $|a_{n+1}-1|=|a_n-1|^2$,
[/mm]
Wenn man nun mit (*) aurechnet [mm] |a_2-1|, |a_3-1|, [/mm] ... kann man auf die Vermutung
[mm] $|a_{n+1}-1| \le \bruch{1}{4^n}$ [/mm]
kommen. Das lässt sich aber leicht induktiv beweisen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Fr 18.11.2011 | | Autor: | sissile |
danke für die vielen Beiträge
Ich hänge bei der Monotonie etwas
[mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_n
[/mm]
>0 ->wachsend
<0 -> fallend
2 [mm] a_n [/mm] - [mm] a_n^2 [/mm] - [mm] 2a_{n-1} [/mm] + [mm] a_{n-1}^2
[/mm]
wie tuhe ich da weiter?
Ich bin mit der rekursiven darstellung nicht wirklich vertraut ;(
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Hallo sissile,
> [mm]a_{n+1}[/mm] - [mm]a_n[/mm]
> >0 ->wachsend
> <0 -> fallend
Du hast
[mm] a_{n+1}-a_n=(2a_n-a_n^2)-a_n=a_n-a_n^2.
[/mm]
Wenn du Beschränktheit schon gezeigt hast, weißt du [mm] a_n\in(0,1).
[/mm]
Was folgt daraus?
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 Fr 18.11.2011 | | Autor: | sissile |
na wenn ich das einsetzen ergibt es jeweils 0
wenn ich [mm] a_1 [/mm] (von der angabe einsetze) [mm] a_1 [/mm] = 1/2
so ergibt es 1/4.
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> na wenn ich das einsetzen ergibt es jeweils 0
> wenn ich [mm]a_1[/mm] (von der angabe einsetze) [mm]a_1[/mm] = 1/2
> so ergibt es 1/4.
Allgemein gilt, dass [mm] a_n>a_n^2 [/mm] wegen [mm] a_n\in(0,1).
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Fr 18.11.2011 | | Autor: | sissile |
warum?
$ [mm] a_n>a_n^2 [/mm] $
ich muss nur den Grenzwert einsetzen und dass sagt mir dann automatisch dass es für alle gilt?
Und wozu hab ich dann in der angabe [mm] a_1 [/mm] =1/2?
Das heißt es ist wachsend
Zu Diophant
Beschränktheit
$ [mm] a_{n+1}=2\cdot{}a_n-{a_n}^2=a_n\cdot{}(2-a_n) [/mm] $
Ja du nimmst den Faktor 2 raus. Und wie weiter?
Kann man nicht den potenziellen Grenzwert hernehmen und durch Monotonie [mm] a_1=1/2 [/mm] (Angabe)
1/2 < [mm] a_{n+1} [/mm] < 1
1/2 < [mm] 2a_n [/mm] - [mm] a_n^2 [/mm] < 1
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> warum?
> [mm]a_n>a_n^2[/mm]
Das gilt weil [mm] a_n\in(0,1) [/mm] für alle n.
Kürzen mit [mm] a_n [/mm] liefert nämlich
[mm] a_n>a_n^2 \gdw 1>a_n.
[/mm]
Damit ist dann [mm] a_n [/mm] monoton wachsend, da gezeigt wurde [mm] a_{n+1}-a_n>0 [/mm] für alle n.
> ich muss nur den Grenzwert einsetzen und dass sagt mir
> dann automatisch dass es für alle gilt?
?
> Und wozu hab ich dann in der angabe [mm]a_1[/mm] =1/2?
> Das heißt es ist wachsend?
Du kannst doch nicht von einzelnen Folgengliedern auf die Gesamtheit der Folgenglieder schließen.
>
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Fr 18.11.2011 | | Autor: | sissile |
> Kürzen mit $ [mm] a_n [/mm] $ liefert nämlich
> $ [mm] a_n>a_n^2 \gdw 1>a_n. [/mm] $
[mm] a_n< [/mm] 1 dadurch muss diese differenz pos sein.
BESCHRÄNKTHEIT!
Zu Diophant
$ [mm] a_{n+1}=2\cdot{}a_n-{a_n}^2=a_n\cdot{}(2-a_n) [/mm] $
Ja du nimmst den Faktor raus. Und wie weiter?
Kann man nicht den potenziellen Grenzwert hernehmen und durch Monotonie $ [mm] a_1=1/2 [/mm] $ (Angabe)
1/2 < $ [mm] a_{n+1} [/mm] $ < 1
1/2 < $ [mm] 2a_n [/mm] $ - $ [mm] a_n^2 [/mm] $ < 1
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Fr 18.11.2011 | | Autor: | sissile |
Oder kann man dass nur so machen bei einer nicht rekursiv definierten Folge?
wie gehts das weiter mit der faktorisierung?
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Hallo sissile,
die Funktion f mit
f(x)=x*(2-x)
hat als Schaubild eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitel bei [mm] x_S=1. [/mm] Dies sollte dir unmittelbar dabei weiterhelfen, die Ungleichung
[mm] n*(2-n)\le{1} [/mm] für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
einzusehen. Man kann sie natürlich auch noch nachrechnen. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Fr 18.11.2011 | | Autor: | sissile |
2n - [mm] n^2 [/mm] - 1 [mm] \le [/mm] 0
-2n + [mm] n^2 [/mm] + 1 [mm] \ge [/mm] 0
n= 1
1 [mm] \ge [/mm] 0
so etwa?
nein oder?
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Hallo,
zunächst ein gut gemeinter Ratschlag: du solltest dringend Ungleichungen üben, wenn du dich mit dieser Thematik hier erfolgreich auseinandersetzen möchtest. Diese hier zeigt man bspw. so:
[mm] n*(2-n)\le{1}
[/mm]
[mm] 0\le{n^2-2n+1}
[/mm]
[mm] 0\le(n-1)^2 [/mm] => wahre Behauptung, da die Quadratfunktion nichtnegativ ist.
Gruß, Diophant
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Hallo,
ich hab dir das mal als Antwort auf deine nächste Frage beantwortet.
Gruß, Diophant
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> Man zeige, dass die durch [mm]a_1[/mm] = 1/2 und
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]2a_n[/mm] - [mm]a_n^2[/mm]
> n [mm]\in \IN[/mm]
> de finierte Folge konvergiert und bestimme
> ihren Grenzwert.
> [mm]a_n[/mm] ->a
>
> a= 2a - [mm]a^2[/mm]
> 0= a - [mm]a^2= a^2[/mm] - a
> a = 1
>
> Könnt ihr mir da weiterhelfen?
> Möchte mögliche Konvergenz zeigen mit geeigneten
> Epsilon, oder ist das keine guter Weg?
>
> [mm]|a_{n+1}[/mm] -1|= [mm]|2a_n[/mm] - [mm]a_n^2[/mm] -1| < [mm]2a_n[/mm] - [mm]a_n^2[/mm] -1
Hallo sissile,
weshalb berechnest du bei einer so definierten Folge
nicht zuallererst mal ein paar Glieder konkret (und zwar
nicht in Dezimaldarstellung, sondern in Bruchform !),
um dir anzuschauen, was da eigentlich so herauskommt.
Dann kannst du Vermutungen aufstellen und beweisen.
Darauf aufbauend wird der Konvergenzbeweis ganz einfach.
LG Al-Chw.
(Hat man euch eventuell zu sehr eingebloit, dass
Mathematik kein Rechnen sei, so dass ihr euch mit
so schnöden Tätigkeiten gar nicht mehr befassen
mögt ? ...)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Fr 18.11.2011 | | Autor: | sissile |
[mm] a_1 [/mm] = 1/2
a_(n+1) = 3/4
[mm] a_2 [/mm] weiß ich ja nicht
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Hallo sissile,
hmpf.
> [mm]a_1[/mm] = 1/2
> a_(n+1) = 3/4
>
> [mm]a_2[/mm] weiß ich ja nicht
Quatsch. Das hast Du doch gerade ausgerechnet!
[mm] a_2=2*a_1-a_1^2=2*\bruch{1}{2}-\left(\bruch{1}{2}\right)^2=1-\bruch{1}{4}=\bruch{3}{4}
[/mm]
Dann ist [mm] a_3=2*a_2-a_2^2=2*\bruch{3}{4}-\left(\bruch{3}{4}\right)^2=\bruch{3}{2}-\bruch{9}{16}=\bruch{15}{16}
[/mm]
[mm] a_4=2*a_3-a_3^2=\bruch{255}{256}
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Fr 18.11.2011 | | Autor: | sissile |
ja so sehe ich dass es sich 1 annähert und wächst, aber bewiesen hab ich die beschränktheit trotzdem nicht.
1/2 [mm] \le a_{n+1} [/mm] < 1
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> ja so sehe ich dass es sich 1 annähert und wächst, aber
> bewiesen hab ich die beschränktheit trotzdem nicht.
Nun ja, aber wo der Tipp mit der Berechnung einiger
Glieder hinzielen wollte, hast du trotzdem noch nicht
erfasst.
Wir haben
$\ [mm] a_1\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{2}$
[/mm]
$\ [mm] a_2\ [/mm] =\ [mm] \frac{3}{4}$
[/mm]
$\ [mm] a_3\ [/mm] =\ [mm] \frac{15}{16}$
[/mm]
$\ [mm] a_4\ [/mm] =\ [mm] \frac{255}{256}$
[/mm]
$\ [mm] a_5\ [/mm] =\ [mm] \frac{...?...}{...?...}$
[/mm]
Fällt dir an dieser Zahlenfolge nicht noch etwas mehr
auf als nur 1/2 [mm]\le a_{n+1}[/mm] < 1 ?
Schau dir die Zähler und Nenner genau an !
Versuche eine einfache Formel für [mm] a_n [/mm] hinzuschreiben,
und beweise diese dann mittels vollständiger Induktion !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Fr 18.11.2011 | | Autor: | sissile |
Nenner ist immer Zähler+1
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Hallo,
> Nenner ist immer Zähler+1
Ja...
Sagen Dir die Zahlen im Nenner sonst noch was? 2,4,16,256,65536...
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Fr 18.11.2011 | | Autor: | sissile |
quadrat der vorigen zahl.
Und ohne diesen ganzen überlegungen kann ich das
1/2 $ [mm] \le a_{n+1} [/mm] $ < 1
nicht mit volständiger Induktion beweisen?
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Hallo sissile,
> quadrat der vorigen zahl.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und ohne diesen ganzen überlegungen kann ich das
> 1/2 [mm]\le a_{n+1}[/mm] < 1
> nicht mit volständiger Induktion beweisen?
Doch, schon. Nur hast Du so gleich alles auf einmal: das explizite Bildungsgesetz der Folge, die Beschränktheit, die Monotonie, den Grenzwert. Das ist es doch wert.
Also mal alles zusammengepackt:
[mm] a_n=1-\bruch{1}{2^{(2^{n-1})}}
[/mm]
Und jetzt ran an die Buletten.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Fr 18.11.2011 | | Autor: | sissile |
auf das Bildungsgesetz komme ich ja nie von selber...
Das gebe ich sicher nicht ab, da würde ich ja selber nicht drauf kommen...
Ich hab liebe mal mit Induktion versucht. obwohl ich da auch nicht es schaffe bis zuM SChluss!!
1/2 < [mm] a_{n+1} [/mm] < 1
1/2 < [mm] 2a_n [/mm] $ - $ [mm] a_n^2 [/mm] < 1
1/2 < [mm] a_n [/mm] * (2 - [mm] a_n) [/mm] < 1
n=1 gilts
Annhame n gilts
zu zeigen für [mm] a_n+1
[/mm]
1/2 < [mm] a_{n+1}* [/mm] (2 - [mm] a_{n+1}) [/mm] < 1
1/2 [mm] <(2a_n [/mm] - [mm] a_n^2 [/mm] )* ( 2- [mm] 2a_n [/mm] + [mm] a_n^2) [/mm] < 1
formte um auf
1/2 < [mm] (2a_n [/mm] - [mm] a_n^2) [/mm] * ( [mm] 1-(a_n-1)^2) [/mm] < 1
laut Annhame 1/2 [mm] <2a_n [/mm] - [mm] a^2< [/mm] 1
wie bringe ich da hinein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:18 Fr 18.11.2011 | | Autor: | sissile |
Kann mir noch wer bei der Induktion helfen?
dann geb ich ruh´ ^^ ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:29 Fr 18.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du willst zeigen
[mm] a_n<1 [/mm] besser [mm] a_n-1<0
[/mm]
du hast a1-1<0 als Anfang
[mm] a_{n+1}-1=-(a_n^2-2a_n-1)=.....<0
[/mm]
nur einen Minischrit selber machen und du hast die Beschränktheit nach oben!
Schreib dan nochmal genau auf, wie du nun für die Konvergenz vorgehst_
1. Schritt:
2. Schritt
Ende, GW bestimmen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Fr 18.11.2011 | | Autor: | sissile |
ich brauche unbedingt hilfe bei der Induktion!
Bitte!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:06 Sa 19.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
das hatte ich doch geschrieben, was fehlt noch?
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Sa 19.11.2011 | | Autor: | sissile |
> $ [mm] a_{n+1}-1=-(a_n^2-2a_n-1)=.....<0 [/mm] $
es ist doch minus 1! und wenn ich deins auflöse steht: [mm] -a_n^2 [/mm] + [mm] 2a_n [/mm] +1
aber wir müssen minus eins rechnen! Odre hast du da schon die Induktionsannahme reingebracht?
Induktionsschritt
[mm] a_{n+1} [/mm] - 1 = - [mm] a_n^2 [/mm] + [mm] 2a_n [/mm] -1
= - [mm] a_n^2 [/mm] + [mm] a_n [/mm] + [mm] a_n [/mm] - 1
für [mm] a_n [/mm] -1 gilt, es ist kleiner als 0
[mm] -a_n^2 [/mm] ist sicher negativ, (da quadrat immer positiv ist)
und [mm] a_n [/mm] ist sicher positiv wegen Monotonie wachsend.
Monotonie
Beschränktheit
-> Konvergiert
Grenzwert ist 1 .
passt so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:29 Sa 19.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du musst viel sauberer arbeiten.
Für die Monotonie ist zu zeigen, dass [mm] a_{n}\leq a_{n+1}
[/mm]
Mit deiner gegebenen expliziten Folge: $ [mm] a_n=1-\bruch{1}{2^{(2^{n-1})}} [/mm] $ bleibt zu zeigen:
[mm] 1-\bruch{1}{2^{(2^{n-1})}}\leq1-\bruch{1}{2^{(2^{(\red{n+1})-1})}}
[/mm]
Das geht ohne Induktion.
Induktion bracuhst du bei dem rekursiven Gesetz:
Du hast:
$ [mm] a_{n+1}=2a_n-a_n^2 [/mm] $
zu zeigen ist, wie Leduart schon schrieb
"$ [mm] a_n<1 [/mm] $ besser $ [mm] a_n-1<0 [/mm] $"
Zum Induktionsanfang:
[mm] a_{1}-1
[/mm]
Mit [mm] a_{1}=\frac{1}{2}
[/mm]
[mm] =\frac{1}{2}-1
[/mm]
[mm] =-\frac{1}{2}
[/mm]
$<0$
Ind. Anfang fertig.
Due Induktionsvoraussetzug ist nun:
[mm] a_{n}-1<0
[/mm]
Zu zeigen ist nun, das ist der Ind-Schritt.
[mm] a_{n+1}-1<0
[/mm]
Dabei darfst du verwenden, dass [mm] a_{n}-1<0
[/mm]
Nun die Rechnung im Ind-Schritt:#
[mm] a_{n+1}-1
[/mm]
Die Definition eingesetz:
[mm] =2a_n-a_n^2 [/mm] -1
Umgeformt:
[mm] =-(a_{n}^{2}-2a_{n}+1)
[/mm]
Binomische Formel
[mm] =-(a_{n}+1)^{2}
[/mm]
Nun sind es noch ein paar Schnritte, um zu zeigen, dass [mm] =-(a_{n}+1)^{2}<0.
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Sa 19.11.2011 | | Autor: | sissile |
wie ich es oben gemacht habe, darf ich es nicht machen?
okay verstehe ich, aber die Induktionsannahme fehlt noch.
[mm] a_n [/mm] -1 < 0
Kannst du mir nur noch zweigen wie ich die annahme da reinbringe. Ich versuchs aber es klappt nicht.;( Bitte ich sitze daran schon tage!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Sa 19.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
> wie ich es oben gemacht habe, darf ich es nicht machen?
Was meinst du?
>
> okay verstehe ich, aber die Induktionsannahme fehlt noch.
> [mm]a_n[/mm] -1 < 0
Die ist hier ausnahmsweise nicht mal nötig, denn du hast dier ein Quadrat, ja prizpiell positiv ist, aber durch das - vor dem Quadrat wird der Term definitiv kleiner als Null
> Kannst du mir nur noch zweigen wie ich die annahme da
> reinbringe. Ich versuchs aber es klappt nicht.;( Bitte ich
> sitze daran schon tage!
Da musst du jetzt wohl durch. Mach dir die Beweisidee unbedingt klar.
Zur vollständigen Induktion noch folgende Links:
http://www.mathe-online.at/materialien/matroid/files/vi/vi.html
http://www.scribd.com/doc/54137774/44/Beispiele-f%C2%A8ur-Induktionsbeweise
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Sa 19.11.2011 | | Autor: | sissile |
> Was meinst du?
Siehe v2
Dann bräuchte ich ja keine induktion machen, dann würde ja nur das auch ausreichen!
Aber es muss doch auch funktionieren wenn man die Indukrionsannahme noch hineinbringt? Ich sehe dass nicht wie ich es machen kann.
-( [mm] a_n [/mm] -1 [mm] +2)^2 [/mm] < 0
[mm] a_n [/mm] -1< 0 ist Induktionsannahme
?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Sa 19.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
> > Was meinst du?
> Siehe v2
>
> Dann bräuchte ich ja keine induktion machen, dann würde
> ja nur das auch ausreichen!
> Aber es muss doch auch funktionieren wenn man die
> Indukrionsannahme noch hineinbringt? Ich sehe dass nicht
> wie ich es machen kann.
>
> -( [mm]a_n[/mm] -1 [mm]+2)^2[/mm] < 0
> [mm]a_n[/mm] -1< 0 ist Induktionsannahme
> ?
Wie gesagt, hier ist sie nicht wirklich hilfreich, da man es direkt zeigen kann.
Mal angenommen, das Quadrat wäre nicht da.
[mm] -(\red{a_{n}-1}+2)<0
[/mm]
Der rot markierte Teil ist nach Ind-Annahme <0, also
[mm] -(\red{a_{n}-1}+2)<-(\red{0}+2)=-2<0
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Sa 19.11.2011 | | Autor: | sissile |
verstehe ich
aber quadrat ist nunmal da, also kann man es nicht so machen!
Also macht man im Prnzip keine Induktion hier?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Sa 19.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> verstehe ich
> aber quadrat ist nunmal da, also kann man es nicht so
> machen!
Das Quadrat ist deutlich einfacher zu händeln, als die Ind- Annahme, also sollte man den Weg auch gehen.
>
> Also macht man im Prnzip keine Induktion hier?
Hier geht es eben auch ohne.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Sa 19.11.2011 | | Autor: | sissile |
Eine Frage noch!
> Umgeformt:
> $ [mm] =-(a_{n}^{2}-2a_{n}+1) [/mm] $
> Binomische Formel
> $ [mm] =-(a_{n}+1)^{2} [/mm] $
heißt dass nicht
$ [mm] =-(a_{n}-1)^{2} [/mm] $
müssen wir nicht auch noch zeigen dass es eine untere schranke gibt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Sa 19.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Eine Frage noch!
>
> > Umgeformt:
> > [mm]=-(a_{n}^{2}-2a_{n}+1)[/mm]
> > Binomische Formel
> > [mm]=-(a_{n}+1)^{2}[/mm]
>
> heißt dass nicht
> [mm]=-(a_{n}-1)^{2}[/mm]
Stimmt. Aber das ändert nichts am Ergebnis.
> müssen wir nicht auch noch zeigen dass es eine untere
> schranke gibt?
Bei einer monoton steigenden Folge? Da ist der tiefste Folgenwert die Schranke.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Sa 19.11.2011 | | Autor: | sissile |
und wenn ich die monotonie dannach mache?
0 < [mm] a_n
[/mm]
n=1
0< 1/2
Annahme
[mm] 0
Zuzeigen
[mm] 0
0< - [mm] (a_n -1)^2 [/mm] +1
-1 < [mm] -(a_n-1)^2
[/mm]
wie gehts weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Sa 19.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> und wenn ich die monotonie dannach mache?
> 0 < [mm]a_n[/mm]
Das ist aber nicht das Kriterium für Monotonie.
>
> n=1
> 0< 1/2
>
> Annahme
> [mm]0
> Zuzeigen
> [mm]0
>
> 0< - [mm](a_n -1)^2[/mm] +1
> -1 < [mm]-(a_n-1)^2[/mm]
> wie gehts weiter?
Gar nicht, weil du ein falsches Monotoniekriterium angewandt hast.
Diese Aufgabe haben wir doch jetzt zu genüge durchgekaut.
Setze die Puzzleteile in diesem Beitrag mal zusammen.
Ach ja: Du hast doch nicht etwa in deiner Rechnung [mm] a_{n-1}=a_{n}-1 [/mm] gesetzt? Ic fürchte nämlich, dass dir das auch noch passiert ist.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Sa 19.11.2011 | | Autor: | sissile |
> und wenn ich die monotonie dannach mache?
> 0 < $ [mm] a_n [/mm] $
Das ist aber nicht das Kriterium für Monotonie.
>
> n=1
> 0< 1/2
>
> Annahme
> $ [mm] 0
> Zuzeigen
> $ [mm] 0
>
> 0< - $ [mm] (a_n -1)^2 [/mm] $ +1
> -1 < $ [mm] -(a_n-1)^2 [/mm] $
> wie gehts weiter?
Das hier soll beschränktheit darstellen nach unten!
Ich mache die Monotonie nicht so wie du, da ich auf die explizite drstellung nicht selber kommen würde-> deshalb brauch in bei der Monotonie die schranken. D.h. ich muss die schranken vor monotonie zeichen.
dass 1 eine schranke ist haben wir gezeigt
jetzt ist es noch zu zeigen. dass 0 (oder 1/2 ist ja egal) eine untere schranke ist. Und da bräuchte ich nochmals hilfe)-mittels vollständiger induktion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Sa 19.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
> > und wenn ich die monotonie dannach mache?
> > 0 < [mm]a_n[/mm]
>
> Das ist aber nicht das Kriterium für Monotonie.
>
> >
> > n=1
> > 0< 1/2
> >
> > Annahme
> > [mm]0
> > Zuzeigen
> > [mm]0
> >
> > 0< - [mm](a_n -1)^2[/mm] +1
> > -1 < [mm]-(a_n-1)^2[/mm]
> > wie gehts weiter?
>
>
> Das hier soll beschränktheit darstellen nach unten!
> Ich mache die Monotonie nicht so wie du, da ich auf die
> explizite drstellung nicht selber kommen würde-> deshalb
> brauch in bei der Monotonie die schranken. D.h. ich muss
> die schranken vor monotonie zeichen.
Wieso?
> dass 1 eine schranke ist haben wir gezeigt
In welche Richtung ist 1 eine Schranke?
> jetzt ist es noch zu zeigen. dass 0 (oder 1/2 ist ja egal)
> eine untere schranke ist.
Du hast eine streng monoton steigende Funktion, da ist das kleinste Folgenglied, also [mm] a_0 [/mm] automatisch die kleinste untere Schranke.
> Und da bräuchte ich nochmals
> hilfe)-mittels vollständiger induktion
Nicht nötig. Außerdem haben wir dir ja genug Informationen zur Induktion gegeben.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Sa 19.11.2011 | | Autor: | sissile |
NOCHMAL:
Zur Monotonie brauche ich die beschränktheit!
ich hab es nicht mit der expliziten form gerechnet, da ich auf die selbst nicht drauf komme.
0< [mm] a_n [/mm] < 1
1 als obere schranke haben wir gezeigt
nun fehlt 0 als eine untere schranke zu zeigen
Ind-annahme 0 < [mm] a_n
[/mm]
Zu zeigen: 0 < [mm] a_{n+1}
[/mm]
Induktionsschritt 0< [mm] 2a_n [/mm] - [mm] a_n^2
[/mm]
-1 < - ( [mm] a_n^2 [/mm] - [mm] 2a_n [/mm] +1)
-1 < - [mm] (a_n-1)^2
[/mm]
?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Sa 19.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst mal die Schritte wirklich aufschreiben, und nicht immer nur kleine Stückchen.
1. obere Schranke [mm] a_n\le1
[/mm]
2. untere Schranke ist unnötig, wenn man zeigt, dass die folge monoton steigt, dann ist [mm] a_1 [/mm] die untere Schranke.
3. die Folge steigt monoton
4. eine monoton steigende nach oben begrenzte Folge hat einen GW
5. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n= [/mm] a
einsetzen und a bestimmen.
Schreib das jetzt bitte mal alles in einem schönen beweis auf, damit wir auch mal einen Erfolg in diesem langen thread verbuchen können.
Bitte keine Einzelfragen mehr sondern den vollständigen beweis.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Sa 19.11.2011 | | Autor: | sissile |
Ganze beweiS? Na gut!!
[mm] a_1 [/mm] = 1/2
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] 2a_n [/mm] - [mm] a_n^2
[/mm]
Beschränktheit
[mm] a_n [/mm] < 1
[mm] a_n [/mm] -1 < 0
Induktionsanfang:
n= 1, [mm] a_1 [/mm] - 1 = 1/2 -1 = -1/2
-1/2 < 0
passt
Induktionsannahme
[mm] a_n-1 [/mm] <0
Zuzeigen
[mm] a_{n+1} [/mm] -1 <0
Induktionsschritt
[mm] 2a_n [/mm] - [mm] a_n^2 [/mm] - 1 = -( [mm] a_n^2 [/mm] - [mm] 2a_n [/mm] +1) = [mm] -(a_n-1)^2
[/mm]
-> < 0
Monotonie [mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_n
[/mm]
<0 fallend, >0 wachsend
[mm] (2a_n [/mm] - [mm] a_n^2 [/mm] ) - [mm] a_n [/mm] = [mm] a_n [/mm] - [mm] a_n^2
[/mm]
da 0 < [mm] a_n [/mm] < 1 gilt [mm] a_n [/mm] > [mm] a_n^2
[/mm]
[mm] a_n [/mm] - [mm] a_n^2 [/mm] >0 wachsend
Grenzwert
lim [mm] a_n [/mm] = lim [mm] a_{n+1}
[/mm]
n -> [mm] \infty
[/mm]
[mm] a_n [/mm] -> a
a= 2a - [mm] a^2
[/mm]
0= a - [mm] a^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] -a
[mm] a_1 [/mm] =0
[mm] a_2=1
[/mm]
WIe ihr sehr fehlt mir zu dem beweis der Monotonie, die untere Schranke 0
0< [mm] a_n
[/mm]
I.Anfang n=1, 0 [mm]
I.annahme 0 < [mm] a_n
[/mm]
Zu zeigen 0 < [mm] a_{n+1}
[/mm]
Induktionsschritt
0< [mm] 2a_n [/mm] - [mm] a_n^2
[/mm]
Da komme ich nicht weiter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Sa 19.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
gut aufgeschrieben.
da du schon hast [mm] 0
[mm] a_{n+1}=a_n*(2-a_n)>0 [/mm] da [mm] a_n>0 [/mm] und wegen a_<1 auch [mm] 2-a_n>0
[/mm]
das kannst du auch direkt in den Monotoniebeweis mitreinschreiben, oder eben davor.
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 Sa 19.11.2011 | | Autor: | sissile |
Großes Danke an alle!
bb
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