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Konvergenz-Kriterien: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:29 Di 11.12.2007
Autor: Sajuri

Aufgabe
Welche der folgenden Reihen konvergiert, konvergiert absolut oder divergiert? [mm] k\in\IN [/mm]

a) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\vektor{2k\\ k}^{-1} [/mm]

b) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k+4}{2k^2-3k+3} [/mm]

Hallo zusammen!

Mit diesen Aufgaben komme ich nicht klar.
Ich habe schon alles probiert, klappt  aber nichts
a) Hier habe ich versucht umzuformen und habe gekriegt, dass es überhaupt nicht Reihe.
[mm] \vektor{2k\\ k}^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{2k!}{k!*(2k-k!)}^{-1}=1^{-1}=1 [/mm]
b) mit Quotienten-Kriterium keine Aussage möglich, weil [mm] |\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}|=1 [/mm]

Bitte helft mir
Danke im Voraus

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.




        
Bezug
Konvergenz-Kriterien: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:57 Di 11.12.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Tatiana,

bei der Reihe in (a) kannst du ganz gut mit dem Quotientenkriterium ansetzen.

Deine Umformung ist der richtige Weg, du musst nur die Klammern richtig setzen und es richtig im Sinne des QK "zusammenstellen" ;-)

>  a) Hier habe ich versucht umzuformen und habe gekriegt,
> dass es überhaupt nicht Reihe.
> [mm] \vektor{2k\\ k}^{-1} [/mm] = [mm] \red{\left(}\bruch{\red{(}2k\red{)}!}{k!*(2k-k\red{)}!}\red{\right)}^{-1}=\left(\bruch{(2k)!}{k!\cdot{}k!}\right)^{-1} [/mm]

Also

[mm] $\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\frac{\vektor{2(k+1)\\k+1}^{-1}}{\vektor{2k\\k}^{-1}}=\frac{\left(\frac{(2k+2)!}{(k+1)!\cdot{}(k+1)!}\right)^{-1}}{\left(\frac{(2k)!}{k!\cdot{}k!}\right)^{-1}}$ [/mm]


[mm] $=\frac{(k+1)!\cdot{}(k+1)!}{(2k+2)!}\cdot{}\frac{(2k)!}{k!\cdot{}k!}=...$ [/mm]

Das fasse mal so weit wie möglich zusammen (kürzen wo's nur geht ;-) ) und lasse dann [mm] $k\to\infty$ [/mm] gehen.

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, kommt da als Grenzwert ein $q$ mit $q<1$ heraus, also ist die Reihe konvergent, aber rechne mal nach, ob du das auch heraus bekommst

Die Reihe in (b) ist divergent, versuche gegen die harmonische Reihe als divergente Minorante abzuschätzen, verkleinere also deine Reihe, bis du etwas in der Form [mm] $>...>...>M\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$ [/mm] dastehen hast.

Dazu kannst du den Zähler verkleinern und den Nenner vergrößern...


LG

schachuzipus







Bezug
                
Bezug
Konvergenz-Kriterien: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:20 Di 11.12.2007
Autor: Sajuri

Hallo schachuzipus,
Vielen Dank für deine Hilfe:)

in a) habe ich  [mm] \bruch{1}{4}<1 [/mm] gekriegt und somit die Reihe ist absolut konvergent.
in b) [mm] \bruch{k+4}{2k^2-3k+3}>\bruch{k}{2k^2-3k+3k}=\bruch{k}{2k^2}=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{k} [/mm]
Da [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k} [/mm] (harmonische Reihe) divergent [mm] \Rightarrow [/mm] die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_{k} [/mm] auch divergent.

Ich hoffe, dass es richtig ist

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz-Kriterien: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:34 Di 11.12.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Tatiana,


> Hallo schachuzipus,
>  Vielen Dank für deine Hilfe:)
>  
> in a) habe ich  [mm]\bruch{1}{4}<1[/mm] gekriegt und somit die Reihe
> ist absolut konvergent. [daumenhoch]
>  in b)
> [mm] \bruch{k+4}{2k^2-3k+3}>\bruch{k}{2k^2-3k+3k}=\bruch{k}{2k^2}=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{k} [/mm] [daumenhoch]

Schreibe noch die Summenzeichen davor ! Du musst ja im Endeffekt die Reihen abschätzen

>  Da [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k} [/mm] (harmonische Reihe) divergent [mm] \red{\left(\Rightarrow\frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} divergent\right)} \Rightarrow [/mm] die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_{k} [/mm]
> auch divergent. [ok]
>  
> Ich hoffe, dass es richtig ist

Ja, sehr schön so ;-)

Gruß

schachuzipus


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