Konvergenz-Kriterien < VK 13 Analysis I FH < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Di 11.12.2007 | | Autor: | Sajuri |
| Aufgabe | Welche der folgenden Reihen konvergiert, konvergiert absolut oder divergiert? [mm] k\in\IN
[/mm]
a) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\vektor{2k\\ k}^{-1}
[/mm]
b) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k+4}{2k^2-3k+3} [/mm] |
Hallo zusammen!
Mit diesen Aufgaben komme ich nicht klar.
Ich habe schon alles probiert, klappt aber nichts
a) Hier habe ich versucht umzuformen und habe gekriegt, dass es überhaupt nicht Reihe.
[mm] \vektor{2k\\ k}^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{2k!}{k!*(2k-k!)}^{-1}=1^{-1}=1
[/mm]
b) mit Quotienten-Kriterium keine Aussage möglich, weil [mm] |\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}|=1
[/mm]
Bitte helft mir
Danke im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Tatiana,
bei der Reihe in (a) kannst du ganz gut mit dem Quotientenkriterium ansetzen.
Deine Umformung ist der richtige Weg, du musst nur die Klammern richtig setzen und es richtig im Sinne des QK "zusammenstellen" 
> a) Hier habe ich versucht umzuformen und habe gekriegt,
> dass es überhaupt nicht Reihe.
> [mm] \vektor{2k\\ k}^{-1} [/mm] = [mm] \red{\left(}\bruch{\red{(}2k\red{)}!}{k!*(2k-k\red{)}!}\red{\right)}^{-1}=\left(\bruch{(2k)!}{k!\cdot{}k!}\right)^{-1}
[/mm]
Also
[mm] $\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\frac{\vektor{2(k+1)\\k+1}^{-1}}{\vektor{2k\\k}^{-1}}=\frac{\left(\frac{(2k+2)!}{(k+1)!\cdot{}(k+1)!}\right)^{-1}}{\left(\frac{(2k)!}{k!\cdot{}k!}\right)^{-1}}$
[/mm]
[mm] $=\frac{(k+1)!\cdot{}(k+1)!}{(2k+2)!}\cdot{}\frac{(2k)!}{k!\cdot{}k!}=...$
[/mm]
Das fasse mal so weit wie möglich zusammen (kürzen wo's nur geht ) und lasse dann [mm] $k\to\infty$ [/mm] gehen.
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, kommt da als Grenzwert ein $q$ mit $q<1$ heraus, also ist die Reihe konvergent, aber rechne mal nach, ob du das auch heraus bekommst
Die Reihe in (b) ist divergent, versuche gegen die harmonische Reihe als divergente Minorante abzuschätzen, verkleinere also deine Reihe, bis du etwas in der Form [mm] $>...>...>M\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$ [/mm] dastehen hast.
Dazu kannst du den Zähler verkleinern und den Nenner vergrößern...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Di 11.12.2007 | | Autor: | Sajuri |
Hallo schachuzipus,
Vielen Dank für deine Hilfe:)
in a) habe ich [mm] \bruch{1}{4}<1 [/mm] gekriegt und somit die Reihe ist absolut konvergent.
in b) [mm] \bruch{k+4}{2k^2-3k+3}>\bruch{k}{2k^2-3k+3k}=\bruch{k}{2k^2}=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{k}
[/mm]
Da [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k} [/mm] (harmonische Reihe) divergent [mm] \Rightarrow [/mm] die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_{k} [/mm] auch divergent.
Ich hoffe, dass es richtig ist
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