Konvergenz- divergenz prüfung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Di 04.12.2007 | | Autor: | MarekG |
| Aufgabe | Folgende Aufgabe.
Untersuchen Sie die Konvergenz oder Divergenz folgender Reihe unter Benutzung von Vergleichskreterien:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel[3]{n^2-2}} [/mm]
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Wie soll ich denn anfangen?? und das berechnen.??
Danke für die Hilfe
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Hallo Marek,
> Folgende Aufgabe.
> Untersuchen Sie die Konvergenz oder Divergenz folgender
> Reihe unter Benutzung von Vergleichskreterien:
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel[3]{n^2-2}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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> Wie soll ich denn anfangen?? und das berechnen.??
> Danke für die Hilfe
Zuerst überlegen wir mal, ob das Ding konvergent oder divergent ist:
Die Reihe hat ja ganz grob die Gestalt $\sum_n\frac{1}{n^{\frac{2}{3}}$
Die Reihen $\sum_n\frac{1}{n^s}$ sind konvergent für $s>1$ und divergent für $s\le 1$
Also ist deine Reihe divergent.
Wie schätzt man das ab?
Nun, als Vergleichsreihe bietet sich die harmonische Reihe $\sum_n\frac{1}{n}$ an, von der ihr sicher gezeigt habt, dass sie divergent ist 
Du musst also versuchen, deine Reihe immer weiter zu verkleinern, so dass am Ende die harmonische Reihe eine divergente Minorante ist.
Das kannst du erreichen, indem du den Nenner vergrößerst
Fang mal so an:
$\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel[3]{n^2-2}} \ > \ \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel[3]{n^2-2\red{+2}}} \ = \ \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel[3]{n^2}} \ = \ \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{\frac{2}{3}}$
Nun schätze noch ein wenig weiter ab...
LG
schachuzipus
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