Konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:55 So 05.01.2014 | | Autor: | MaxHBB |
| Aufgabe | Seien $K [mm] \in \{\IR, \IC\}$, $(a_n)_{n\in \IN}$ [/mm] eine Folge in $K$ und [mm]a\in K[/mm].
(a) Ist [mm] $(a_n)_{n\in \IN} \to [/mm] a$, so gilt auch [mm] $(a_{n_k})_{k\in \IN} \to [/mm] a$ für jede Teilfolge [mm] $(a_{n_k})_{k\in\IN}$ [/mm] von [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$.
[/mm]
(b) Es gibt höchstens ein [mm] $b\in [/mm] K$ mit [mm] $(a_n)_{n\in\IN}\to [/mm] b$.
(c)Genau dann konvergiert die Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] nicht gegen $a$, wenn es eine reelle Zahl [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ und eine Teilfolge [mm] $(a_{n_k})_{k\in\IN}$ [/mm] von [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $|a_n_k [/mm] - [mm] a|\ge \epsilon$ [/mm] für alle [mm] $k\in\IN$ [/mm] gibt. |
Ich bin gerade dabei, mir dieses Lemma zu beweisen und wollte fragen, ob die Beweise so konsistent sind:
(a) Nach der Definition der Konvergenz ist [mm] $(a_n)_{n\in \IN} \to [/mm] a$, weil es für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $n_0$ [/mm] gibt, so dass es kein Folgenglied [mm] $a_n$ [/mm] mit [mm] $n\ge n_0$ [/mm] gibt, für das [mm] $|a_n [/mm] - [mm] a|\ge \epsilon$ [/mm] gilt. Da [mm] $(a_{n_k})_{k\in\IN}\subseteq(a_n)_{n\in\IN}$, [/mm] gilt dies auch für alle [mm] $a_{n_k}$ [/mm] mit [mm] $n_k \ge n_0$.
[/mm]
(b)Wir nehmen ein beliebiges [mm] $a\in [/mm] K$ und nehmen an [mm] $(a_n)_{n\in\IN} \to [/mm] a$. Dann existiert nach der Definition der Konvergenz für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $n_0$ [/mm] mit [mm] $|a_n [/mm] - a|< [mm] \epsilon$ [/mm] für alle [mm] $n\ge n_0$, [/mm] also ist die Folge [mm] $(a_n [/mm] - [mm] a)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Nullfolge, aber wegen [mm] $(a_n)_{n\in\IN}\to [/mm] b$ ist auch [mm] $(a_n [/mm] - [mm] b)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Nullfolge und wegen [mm] $a_n [/mm] = [mm] a_n$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt $a=b$.
(c) [mm] ,,$\Rightarrow$": [/mm] Die Aussage [mm] ,,$(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] konvergiert nicht gegen a" lautet als Formel
[mm] [quote]$\neg\forall(\epsilon [/mm] > [mm] 0)\exists(n_0 \in\IN)\forall(n\ge n_0) [/mm] : [mm] |a_n [/mm] - [mm] a|<\epsilon$.[/quote]
[/mm]
Da man eine solche Aussage ebenso verneinen kann, indem man alle Quantoren umdreht und die innere Aussage verneint, folgt
[mm] [quote]$\exists(\epsilon [/mm] > [mm] 0)\forall(n_0 \in \IN)\exists(n\ge n_0) [/mm] : [mm] |a_n [/mm] - [mm] a|\ge \epsilon$,[/quote]
[/mm]
also kann man [mm] $(n_k)_{k\in\IN}$ [/mm] so definieren, dass [mm] $|a_{n_k}-a|\ge\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $k\in\IN$ [/mm] gilt.
[mm] ,,$\Leftarrow$": [/mm] Ist [mm] $(a_{n_k})_{k\in\IN}$ [/mm] eine Teilfolge von [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $n_0 [/mm] < [mm] n_1 [/mm] < [mm] n_2 [/mm] < ...$ und ist [mm] $|a_{n_k}-a|\ge \epsilon$ [/mm] für alle [mm] $k\in\IN$, [/mm] so verlässt die Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] das Intervall [mm] $(a-\epsilon, a+\epsilon)$ [/mm] immer wieder, d. h. [mm] $\neg(a_n \to [/mm] a)$.
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Hallo MaxHBB,
keine Ahnung, warum Du hier so lange keine Antwort bekommst. Ich bin für Deine Frage nicht der beste Ansprechpartner, aber ich habe mich mal durchgefressen...
> Seien [mm]K \in \{\IR, \IC\}[/mm], [mm](a_n)_{n\in \IN}[/mm] eine Folge in [mm]K[/mm]
> und [mm]a\in K[/mm].
> (a) Ist [mm](a_n)_{n\in \IN} \to a[/mm], so gilt auch
> [mm](a_{n_k})_{k\in \IN} \to a[/mm] für jede Teilfolge
> [mm](a_{n_k})_{k\in\IN}[/mm] von [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm].
> (b) Es gibt höchstens ein [mm]b\in K[/mm] mit [mm](a_n)_{n\in\IN}\to b[/mm].
>
> (c)Genau dann konvergiert die Folge [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] nicht
> gegen [mm]a[/mm], wenn es eine reelle Zahl [mm]\epsilon > 0[/mm] und eine
> Teilfolge [mm](a_{n_k})_{k\in\IN}[/mm] von [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] mit
> [mm]|a_n_k - a|\ge \epsilon[/mm] für alle [mm]k\in\IN[/mm] gibt.
> Ich bin gerade dabei, mir dieses Lemma zu beweisen und
> wollte fragen, ob die Beweise so konsistent sind:
Ich habe jetzt auch nur auf Konsistenz und Logik geprüft, nicht darauf, ab man noch besser notieren könnte.
> (a) Nach der Definition der Konvergenz ist [mm](a_n)_{n\in \IN} \to a[/mm],
> weil es für jedes [mm]\epsilon > 0[/mm] ein [mm]n_0[/mm] gibt, so dass es
> kein Folgenglied [mm]a_n[/mm] mit [mm]n\ge n_0[/mm] gibt, für das [mm]|a_n - a|\ge \epsilon[/mm]
> gilt. Da [mm](a_{n_k})_{k\in\IN}\subseteq(a_n)_{n\in\IN}[/mm], gilt
> dies auch für alle [mm]a_{n_k}[/mm] mit [mm]n_k \ge n_0[/mm].
Stimmt alles, reicht aber m.E. logisch nicht. Du setzt hier implizit voraus, dass [mm] n_0 [/mm] endlich ist (richtig), die Teilfolge [mm] (a_{n_k})_{k\in\IN} [/mm] aber unendlich (auch richtig), da k ja ins Unendliche wachsen kann. Trotzdem muss diese Voraussetzung noch deutlich werden.
> (b)Wir nehmen
> ein beliebiges [mm]a\in K[/mm] und nehmen an [mm](a_n)_{n\in\IN} \to a[/mm].
> Dann existiert nach der Definition der Konvergenz für
> jedes [mm]\epsilon > 0[/mm] ein [mm]n_0[/mm] mit [mm]|a_n - a|< \epsilon[/mm] für
> alle [mm]n\ge n_0[/mm], also ist die Folge [mm](a_n - a)_{n\in\IN}[/mm] eine
> Nullfolge, aber wegen [mm](a_n)_{n\in\IN}\to b[/mm] ist auch [mm](a_n - b)_{n\in\IN}[/mm]
> eine Nullfolge und wegen [mm]a_n = a_n[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm] gilt
> [mm]a=b[/mm].
Ja, alles richtig.
> (c) ,,[mm]\Rightarrow[/mm]": Die Aussage ,,[mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm]
> konvergiert nicht gegen a"
Das würde ich mir nochmal genauer überlegen...
> lautet als Formel
> [mm]\neg\forall(\epsilon > 0)\exists(n_0 \in\IN)\forall(n\ge n_0) : |a_n - a|<\epsilon[/mm].
>
> Da man eine solche Aussage ebenso verneinen kann, indem man
> alle Quantoren umdreht und die innere Aussage verneint,
> folgt
> [mm]\exists(\epsilon > 0)\forall(n_0 \in \IN)\exists(n\ge n_0) : |a_n - a|\ge \epsilon[/mm],
>
> also kann man [mm](n_k)_{k\in\IN}[/mm] so definieren, dass
> [mm]|a_{n_k}-a|\ge\epsilon[/mm] für alle [mm]k\in\IN[/mm] gilt.
Dieser Teil stimmt m.E. auch.
> ,,[mm]\Leftarrow[/mm]": Ist [mm](a_{n_k})_{k\in\IN}[/mm] eine Teilfolge von
> [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]n_0 < n_1 < n_2 < ...[/mm] und ist
> [mm]|a_{n_k}-a|\ge \epsilon[/mm] für alle [mm]k\in\IN[/mm], so verlässt die
> Folge [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] das Intervall [mm](a-\epsilon, a+\epsilon)[/mm]
> immer wieder, d. h. [mm]\neg(a_n \to a)[/mm].
Das ist im Grundgedanken richtig, aber so noch nicht stimmig formuliert.
Hilft Dir das weiter?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Mo 06.01.2014 | | Autor: | MaxHBB |
Hallo, danke für deine Mühe!
Hier ein kleiner Versuch, die Beweise zu verbessern:
(a) Dass $a$ endlich ist ergibt sich ja aus der Konvergenzdefinition, das habe ich nicht extra nochmal hingeschrieben.
Dass [mm] $(a_{n_k})_{n\in\IN}$ [/mm] kein letztes Folgenglied hat und auch nicht bei einem Folgenglied stehen bleibt ergibt sich für mich aus der Definition einer Teilfolge als eine Folge der Form [mm] $(a_{n_k})_{k\in\IN}$ [/mm] wobei [mm] $n_0, n_1, n_2, [/mm] ... [mm] \in\IN$ [/mm] mit [mm] $n_0 [/mm] < [mm] n_1 [/mm] < [mm] n_2 [/mm] < ...$ sind.
(c) [mm] "$\Rightarrow$": [/mm] Dein Problem mit der Formel ist mir hier nicht klar, da wir ja eine verneinte Konvergenz voraussetzen, d. h. wir können die Konvergenz aufschreiben und verneinen (die Negation davor setzen), woraus der Rest folgt.
[mm] "$\Leftarrow$": [/mm] Hier ein neuer Formulierungsversuch: Ist [mm] $(a_{n_k})_{k\in\IN}$ [/mm] eine Teilfolge von [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] n_0 [/mm] < [mm] n_1 [/mm] < [mm] n_2 [/mm] < ... und ist [mm] $|a_{n_k}-a|\ge \epsilon$ [/mm] für alle [mm] $k\in\IN$, [/mm] so gilt wegen [mm] $(a_{n_k})_{k\in\IN}\subseteq (a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] auch [mm] $\exists(\epsilon [/mm] > [mm] 0)\forall(n_0 \in \IN)\exists(n\ge n_0) [/mm] : [mm] |a_n [/mm] - [mm] a|\ge \epsilon\gdw\neg\forall(\epsilon [/mm] > [mm] 0)\exists(n_0 \in\IN)\forall(n\ge n_0) [/mm] : [mm] |a_n [/mm] - [mm] a|<\epsilon\gdw\neg(a_n \to [/mm] a)$.
Grüße
Max
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Di 07.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> (c)
zur Erinnerung: Es wurde
> (c) Genau dann konvergiert die Folge $ [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] $ nicht gegen $ a $, wenn es
> eine reelle Zahl $ [mm] \epsilon [/mm] > 0 $ und eine Teilfolge $ [mm] (a_{n_k})_{k\in\IN} [/mm] $ von $ [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] $ mit $ [mm] |a_n_k [/mm] - [mm] a|\ge \epsilon [/mm] $ für alle $ [mm] k\in\IN [/mm] $ gibt.
behauptet.
> "[mm]\Rightarrow[/mm]": Dein Problem mit der Formel ist mir
> hier nicht klar, da wir ja eine verneinte Konvergenz
> voraussetzen, d. h. wir können die Konvergenz aufschreiben
> und verneinen (die Negation davor setzen), woraus der Rest
> folgt.
Die Richtung [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] ist nicht einfach nur eine Verneinung von [mm] "$(a_n)_n$ [/mm] konvergiert
gegen [mm] $a\,$". [/mm] Das ist doch nur die Voraussetzung - Du schreibst quasi, dass
das sich per Definitionem ergibt. Aber dem ist nicht so. Es geht vielmehr so
(es ist zwar fast nichts zu tun, aber ein klein wenig muss man doch in einer
"richtigen Reihenfolge" basteln):
Weil [mm] $(a_n)_n$ [/mm] nicht gegen [mm] $a\,$ [/mm] konvergiert, gibt es ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ so, dass
es zu jedem $m [mm] \in \IN$ [/mm] ein $N=N(m) [mm] \ge [/mm] m$ mit
[mm] $|a_N-a| \ge \epsilon$
[/mm]
gibt.
Wähle also zunächst mal irgendein [mm] $m_0 \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $|a_{m_0}-a| \ge \epsilon\,.$
[/mm]
Dann gibt es sicher auch ein [mm] $m_1 \ge m_0+1$ [/mm] (es ist also [mm] $m_1$ [/mm] ein [mm] $N=N(m_0+1)$ [/mm] wie oben) mit
[mm] $|a_{m_1}-a| \ge \epsilon\,.$
[/mm]
Wiederum gibt sicher auch ein [mm] $m_2 \ge m_1+1 [/mm] > [mm] m_1 [/mm] > [mm] m_0$ [/mm] (es ist also [mm] $m_2$ [/mm] ein [mm] $N=N(m_1+1)$ [/mm] wie oben)
mit
[mm] $|a_{m_2}-a| \ge \epsilon\,.$
[/mm]
Etc. pp.. Dieses Konstruktionsverfahren kannst Du natürlich auch als "Induktion"
aufschreiben - das Fazit ist jedenfalls, dass Du so eine streng wachsende
Folge [mm] $(m_k)_k$ [/mm] in [mm] $\IN$ [/mm] erhälst mit
[mm] $|a_{m_\red{k}}-a| \ge \epsilon$ [/mm] für alle [mm] $\red{k} \in \IN.$
[/mm]
Und das ist das, was gewünscht ist.
Zu [mm] "$\Leftarrow$": [/mm] Wenn es ein [mm] $\epsilon_0 [/mm] > 0$ so gibt, dass es eine Teilfolge
[mm] $(a_{n_k})_k$ [/mm] mit
[mm] $|a_{n_k}-a| \ge \epsilon_0$ [/mm] für alle [mm] $k\,$
[/mm]
gibt, dann ist es doch leicht einzusehen, dass zu diesem [mm] $\epsilon_0 [/mm] > 0$ sicher
kein [mm] $n_0=n_0(\epsilon_0) \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge n_0$
[/mm]
geben kann - einfache Grundüberlegung: Nach Voraussetzung haben sicher
unendlich viele Folgenglieder einen Abstand [mm] $\ge \epsilon_0$ [/mm] von [mm] $a\,,$
[/mm]
aber wenn [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gegen [mm] $a\,$ [/mm] konvergiert, müssen alle bis auf endlich viele
Folgenglieder einen Abstand echt kleiner [mm] $\epsilon_0$ [/mm] von [mm] $a\,$ [/mm] haben.
> "[mm]\Leftarrow[/mm]": Hier ein neuer Formulierungsversuch: Ist
> [mm](a_{n_k})_{k\in\IN}[/mm] eine Teilfolge von [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] mit
> [mm]n_0[/mm] < [mm]n_1[/mm] < [mm]n_2[/mm] < ... und ist [mm]|a_{n_k}-a|\ge \epsilon[/mm] für
> alle [mm]k\in\IN[/mm], so gilt wegen [mm](a_{n_k})_{k\in\IN}\subseteq (a_n)_{n\in\IN}[/mm]
> auch [mm]\exists(\epsilon > 0)\forall(n_0 \in \IN)\exists(n\ge n_0) : |a_n - a|\ge \epsilon\gdw\neg\forall(\epsilon > 0)\exists(n_0 \in\IN)\forall(n\ge n_0) : |a_n - a|<\epsilon\gdw\neg(a_n \to a)[/mm].
Das ist richtig (wobei ich das auch nur flüchtig überblickt habe - also verlasse
Dich da nicht allzu sehr drauf), aber im Wesentlichen nur eine
Umformulierung der Behauptung.
Vielleicht machst Du es am Besten mal so: Nimm' an, es gäbe ein [mm] $\epsilon_0$ [/mm] so,
wie es da steht (also so, dass es eine TF gibt mit bliblablubb...). Dann liegen
unendlich viele Folgenglieder mindestens um [mm] $\epsilon_0$ [/mm] von [mm] $a\,$ [/mm] entfernt.
Jetzt nimm' an, es würde zudem [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gegen [mm] $a\,$ [/mm] streben. Begründe, dass
es dann aber nur endlich viele Folgenglieder geben kann, die mindestens
um [mm] $\epsilon_0$ [/mm] von [mm] $a\,$ [/mm] entfernt sind. Damit hast Du einen Widerspruch.
(Das letzte ist eigentlich das Entscheidende, denn eigentlich kann man
quasi den ersten Teil mit der Voraussetzung per Definitionem des Begriffs
"Teilfolge" folgern!)
P.S. Bei [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] von c) kannst Du natürlich auch, wenn das formal besser
passt oder Dir "logischer" erscheint, starten, indem Du jedes [mm] $m_{k}\,$ [/mm] ($k [mm] \in \IN_0$)
[/mm]
dort überall durch [mm] $m_{k+1}$ [/mm] ersetzt, also:
"Wähle zunächst ein [mm] $m_1$ [/mm] mit ..."
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:39 Di 07.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo MaxHBB,
>
> keine Ahnung, warum Du hier so lange keine Antwort
> bekommst. Ich bin für Deine Frage nicht der beste
> Ansprechpartner, aber ich habe mich mal durchgefressen...
>
> > Seien [mm]K \in \{\IR, \IC\}[/mm], [mm](a_n)_{n\in \IN}[/mm] eine Folge in [mm]K[/mm]
> > und [mm]a\in K[/mm].
> > (a) Ist [mm](a_n)_{n\in \IN} \to a[/mm], so gilt
> auch
> > [mm](a_{n_k})_{k\in \IN} \to a[/mm] für jede Teilfolge
> > [mm](a_{n_k})_{k\in\IN}[/mm] von [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm].
> > (b) Es gibt höchstens ein [mm]b\in K[/mm] mit
> [mm](a_n)_{n\in\IN}\to b[/mm].
> >
> > (c)Genau dann konvergiert die Folge [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] nicht
> > gegen [mm]a[/mm], wenn es eine reelle Zahl [mm]\epsilon > 0[/mm] und eine
> > Teilfolge [mm](a_{n_k})_{k\in\IN}[/mm] von [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] mit
> > [mm]|a_n_k - a|\ge \epsilon[/mm] für alle [mm]k\in\IN[/mm] gibt.
> > Ich bin gerade dabei, mir dieses Lemma zu beweisen und
> > wollte fragen, ob die Beweise so konsistent sind:
>
> Ich habe jetzt auch nur auf Konsistenz und Logik geprüft,
> nicht darauf, ab man noch besser notieren könnte.
>
> > (a) Nach der Definition der Konvergenz ist [mm](a_n)_{n\in \IN} \to a[/mm],
> > weil es für jedes [mm]\epsilon > 0[/mm] ein [mm]n_0[/mm] gibt, so dass es
> > kein Folgenglied [mm]a_n[/mm] mit [mm]n\ge n_0[/mm] gibt, für das [mm]|a_n - a|\ge \epsilon[/mm]
> > gilt. Da [mm](a_{n_k})_{k\in\IN}\subseteq(a_n)_{n\in\IN}[/mm], gilt
> > dies auch für alle [mm]a_{n_k}[/mm] mit [mm]n_k \ge n_0[/mm].
>
> Stimmt alles, reicht aber m.E. logisch nicht. Du setzt hier
> implizit voraus, dass [mm]n_0[/mm] endlich ist (richtig), die
> Teilfolge [mm](a_{n_k})_{k\in\IN}[/mm] aber unendlich (auch
> richtig), da k ja ins Unendliche wachsen kann. Trotzdem
> muss diese Voraussetzung noch deutlich werden.
wir bräuchten hier eine genaue Definition des Begriffes "Teilfolge", ich kenne
etwa diese:
Ist [mm] $(a_n)_{n=m_0}^\infty$ ($m_0 \in \IZ$ [/mm] fest) eine Folge in [mm] $K\,$ [/mm] (kurz [mm] $(a_n)_n$ [/mm] geschrieben), so heißt
[mm] $(a_{n_k})_{k=m_0}^\infty$ [/mm] (also alle $k [mm] \in \{z \in \IZ:\;\;z \ge m_0\}$ [/mm] werden auch hier durchlaufen)
(genau dann) Teilfolge von [mm] $(a_n)_n,$ [/mm] wenn
[mm] $\{z \in \IZ:\;\; z \ge m_0\} \ni [/mm] k [mm] \mapsto n_k \in \{z \in \IZ:\;\; z \ge m_0\}$
[/mm]
streng monoton wachsend ist.
Damit gibt es keine "endlich langen" Teilfolgen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Di 07.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien [mm]K \in \{\IR, \IC\}[/mm], [mm](a_n)_{n\in \IN}[/mm] eine Folge in [mm]K[/mm]
> und [mm]a\in K[/mm].
> (a) Ist [mm](a_n)_{n\in \IN} \to a[/mm], so gilt auch
> [mm](a_{n_k})_{k\in \IN} \to a[/mm] für jede Teilfolge
> [mm](a_{n_k})_{k\in\IN}[/mm] von [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm].
> (b) Es gibt höchstens ein [mm]b\in K[/mm] mit [mm](a_n)_{n\in\IN}\to b[/mm].
>
> (c)Genau dann konvergiert die Folge [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] nicht
> gegen [mm]a[/mm], wenn es eine reelle Zahl [mm]\epsilon > 0[/mm] und eine
> Teilfolge [mm](a_{n_k})_{k\in\IN}[/mm] von [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] mit
> [mm]|a_n_k - a|\ge \epsilon[/mm] für alle [mm]k\in\IN[/mm] gibt.
> Ich bin gerade dabei, mir dieses Lemma zu beweisen und
> wollte fragen, ob die Beweise so konsistent sind:
>
> (a) Nach der Definition der Konvergenz ist [mm](a_n)_{n\in \IN} \to a[/mm],
> weil es für jedes [mm]\epsilon > 0[/mm] ein [mm]n_0[/mm] gibt, so dass es
> kein Folgenglied [mm]a_n[/mm] mit [mm]n\ge n_0[/mm] gibt, für das [mm]|a_n - a|\ge \epsilon[/mm]
> gilt. Da [mm](a_{n_k})_{k\in\IN}\subseteq(a_n)_{n\in\IN}[/mm], gilt
> dies auch für alle [mm]a_{n_k}[/mm] mit [mm]n_k \ge n_0[/mm].
das ist richtig, aber die Logik geht da ziemlich unter.
[mm] "$\Rightarrow$" [/mm] Es gelte [mm] $a_n \to [/mm] a$ (das ist eigentlich die üblichere Notation, wenngleich
Deine formal vielleicht sogar sauberer scheint). Sei [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] dann existiert
ein [mm] $n_0=n_0(\epsilon)$ [/mm] so, dass für alle $n [mm] \ge n_0$ [/mm] auch
[mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \epsilon.$
[/mm]
Ist [mm] $(a_{n_k})_k$ [/mm] Teilfolge von [mm] $(a_n)_n\,,$ [/mm] so gilt insbesondere für alle [mm] $\red{k} \ge n_0$ [/mm] (wichtig!!)
dann [mm] $n_k \ge n_0$ [/mm] (warum?) und daher folgt auch
[mm] $|a_{n_k}-a| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $k [mm] \ge n_0\,.$
[/mm]
[mm] "$\Leftarrow$": [/mm] Hier kann man schon einen Beweis per Kontraposition basteln:
1. Fall: (Mindestens) eine Teilfolge von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] möge divergieren - es ist
leicht, sich zu überlegen, dass dann auch [mm] $(a_n)_n$ [/mm] schon (gar) nicht
konvergent sein kann.
2. Fall: Eine Teilfolge von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] möge gegen [mm] $a\,$ [/mm] konvergieren, eine
weitere gegen eine Zahl [mm] $\in [/mm] K [mm] \setminus \{a\}.$ [/mm] Bastele Dir damit eine Teilfolge,
die divergent ist, und Du kommst in die Argumentation des 1. Falls.
P.S. Sorry, ich sehe gerade, dass ihr [mm] $\gdw$ [/mm] gar nicht bei (a) formuliert habt.
Aber die Rückrichtung gilt da auch!
Gruß,
Marcel
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