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Konvergenz: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:42 Do 10.07.2014
Autor: Smuji

Aufgabe
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k}{2^{k}} [/mm]

Zeigen Sie dass die unendliche Reihe konvergiert und zeigen Sie deren Wert.


Hatte letztens einen Induktionsbeweis mit dieser Aufgabe und nun soll ich zeigen, dass sie konvergiert.

Könntet ihr nur mal kontrollieren, wo mein fehler ist ? Wäre nett.


Ich benutze für die Konvergenz das Quotientenkriterium.


Soll ich die Formel auch erstmal hinschreiben ?

Ich leg einfach mal los.

[mm] \bruch{\bruch{k+1}{2^{k+1}}}{\bruch{k}{2^{k}}} [/mm]

nun per kehrbruch den nenner nach oben holen

[mm] \bruch{k+1 * 2^{k}}{2^{k+1} * k} [/mm]

nun kürzen

[mm] \bruch{k+1 }{2 * k} [/mm]


kann ich nun noch etwas vereinfachen ? oder nun einfach k = [mm] \infty [/mm] setzen ?

aber dann hätte ich doch sowas wie [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm]


gruß smuji

        
Bezug
Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:02 Do 10.07.2014
Autor: Fulla

Hallo smuji!
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k}{2^{k}}[/mm]

>

> Zeigen Sie dass die unendliche Reihe konvergiert und zeigen
> Sie deren Wert.

>

> Hatte letztens einen Induktionsbeweis mit dieser Aufgabe
> und nun soll ich zeigen, dass sie konvergiert.

>

> Könntet ihr nur mal kontrollieren, wo mein fehler ist ?
> Wäre nett.

>
>

> Ich benutze für die Konvergenz das Quotientenkriterium.

>
>

> Soll ich die Formel auch erstmal hinschreiben ?

>

> Ich leg einfach mal los.

>

> [mm]\bruch{\bruch{k+1}{2^{k+1}}}{\bruch{k}{2^{k}}}[/mm]

[ok]

> nun per kehrbruch den nenner nach oben holen

>

> [mm]\bruch{k+1 * 2^{k}}{2^{k+1} * k}[/mm]

>

> nun kürzen

>

> [mm]\bruch{k+1 }{2 * k}[/mm]

[ok]

> kann ich nun noch etwas vereinfachen ? oder nun einfach k =
> [mm]\infty[/mm] setzen ?

Ja, man kann noch vereinfachen (siehe unten), aber warum willst du den Grenzwert für [mm]k\to\infty[/mm] bilden? Habt ihr das Quotientenkriterium so formuliert?

> aber dann hätte ich doch sowas wie [mm]\bruch{\infty}{\infty}[/mm]

Es ist doch [mm]\frac{k+1}{2k}=\frac{k}{2k}+\frac{1}{2k}=\frac 12 + \frac{1}{2k}[/mm]. Nach dem Quotientenkriterium, wie ich es kenne, bist du fertig, wenn du eine (von k unabhängige) Zahl q findest mit [mm]\frac 12 + \frac{1}{2k}\le q<1[/mm] für fast alle k.


Lieben Gruß,
Fulla

Bezug
        
Bezug
Konvergenz: Wertberechnung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:19 Do 10.07.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k}{2^{k}}[/mm]
>  
> Zeigen Sie dass die unendliche Reihe konvergiert und zeigen
> Sie deren Wert.

mal nebenbei: Es ist doch auch der Wert der Reihe zu berechnen. Falls ihr
Potenzreihen schon hattet:

     [mm] $\sum_{k=0}^\infty x^k=1+\sum_{k=1}^\infty x^k$ [/mm]

mal ableiten (für $|x| < 1$). Dann schau' Dir an, was für speziell [mm] $x=1/2\,$ [/mm] entsteht -
eventuell kann man auch sowas wie [mm] $1=1/x*x\,$ [/mm] ($x [mm] \not=0$) [/mm] mit ins Spiel bringen.

Was auch geht (gewisse Konvergenzen sollte man begründen):

     [mm] $\sum_{k=1}^\infty k*x^k=\sum_{k=1}^\infty (k-1)x^k +\sum_{k=1}^\infty x^k$ [/mm]

Mit [mm] $S:=S(x):=\sum_{k=1}^\infty k*x^k$ [/mm] steht dann da (nach Indexshift)

    [mm] $S=x*S+\frac{x}{1-x}$ [/mm]

Löse das mal nach [mm] $S\,$ [/mm] auf.

Nebenbei: Prinzipiell sehen wir hier etwa auch, dass

    [mm] $f(x)=\sum_{k=1}^\infty x^k$ $\left(=x*\sum_{k=0}^\infty x^k\right),$ [/mm]

was für $0 < |x| < [mm] 1\,$ [/mm] ja nichts anderes als

     [mm] $f(x)=\frac{x}{1-x}$ [/mm]

ist und nach der Potenzreihentheorie ja nach einer kleinen Umformung

     [mm] $f'(x)=\frac{1}{x}*\sum_{k=1}^\infty k*x^k$ [/mm]

ergibt, dann

    [mm] $f'(x)=\frac{1}{x}*S(x)$ [/mm]

folgt. Mit anderen Worten:

Du kannst auch [mm] $f'(x)\,$ [/mm] mit der Quotientenregel berechnen und dann

    [mm] $S(x)=x*f'(x)\,$ [/mm]

ausrechnen - bei Deiner Aufgabe dann am Ende speziell noch [mm] $x:=1/2\,$ [/mm] setzen.

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
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Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:37 Do 10.07.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


Du hast gezeigt, dass die Reihe

      [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k}{2^{k}} [/mm]

absolut konvergiert. Aus diesem Grund erhalten wir mit

      [mm] \sum\limits_{k=1}^n\frac{k}{2^k}=\frac{2^{n+1}-n-2}{2^n} [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] (siehe deine Aufgabe hier)

die Summe der Reihe durch

      [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k}{2^{k}}=\lim_{n\to\infty}\summe_{k=1}^{n}\bruch{k}{2^{k}}=\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+1}-n-2}{2^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{2^n(2-\frac{n}{2^n}-\frac{2}{2^n})}{2^n}=\lim_{n\to\infty}\left(2-\frac{n}{2^n}-\frac{2}{2^n}\right)=2. [/mm]


Gruß
DieAcht

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Konvergenz: Klammern beachten
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:09 Fr 11.07.2014
Autor: Roadrunner

Hallo Smuji!


> nun per kehrbruch den nenner nach oben holen
> [mm]\bruch{k+1 * 2^{k}}{2^{k+1} * k}[/mm]

Hier fehlen entscheidende Klammern!!



> nun kürzen [mm]\bruch{k+1 }{2 * k}[/mm]
> kann ich nun noch etwas vereinfachen ?

Klammere mal $k_$ aus und kürze.


> oder nun einfach k = [mm]\infty[/mm] setzen ?

So etwas gibt es nicht. Wie Dir schon geschireben wurde, heißt das z.B. "den Grenzwert für [mm] $k\rightarrow\infty$ [/mm] bilden".


Gruß vom
Roadrunner

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Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:26 Mi 23.07.2014
Autor: Smuji

ok, klammern vergessen,,also nur mal kurz zum verständnis....


den wert einer reihe, erhalte ich dadurch, wenn ich sie gegen unendlich laufen lasse und den wert bestimme... sprich limes -> [mm] \infty [/mm] ... veruschen so weit auszuklammern wie möglich und zu verienfachen...und dann schauen, welchen wert ich erhalte ?!?


gruß smuji

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Bezug
Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:43 Mi 23.07.2014
Autor: fred97


> ok, klammern vergessen,,also nur mal kurz zum
> verständnis....
>  
>
> den wert einer reihe, erhalte ich dadurch, wenn ich sie
> gegen unendlich laufen lasse und den wert bestimme...
> sprich limes -> [mm]\infty[/mm] ... veruschen so weit auszuklammern
> wie möglich und zu verienfachen...und dann schauen,
> welchen wert ich erhalte ?!?

Ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] eine konvergente Reihe, so ist deren Reihenwert


   [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{k}a_n [/mm]

FRED
  

>  
>
> gruß smuji


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Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:26 Mi 23.07.2014
Autor: Smuji

danke

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