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| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktionenfolge [mm] (f_n)_{n \in \IN}, [/mm] die gegeben ist durch [mm] f_n: \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] , [mm] f_n(x) [/mm] = [mm] \bruch{sin(nx)}{\wurzel{n}}
[/mm]
Sie dürfen verwenden, dass [mm] f_n [/mm] differenzierbar und f'_n stetig ist, für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergent ist.
b) Folgern Sie, dass die Grenzfunktion f stetig auf [mm] \IR [/mm] ist.
c) Untersuchen Sie, ob die Folge der Ableitungen [mm] (f'_n)_{n \in \IN} [/mm] ebenfalls (punktweise bzw. gleichmäßig) gegen f' konvergiert. |
Hallo,
ich bitte um Kontrolle von a) und b) und um Tipps für c)
a) Definition von gleichmäßiger Konvergenz:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup | [mm] f_n(x) [/mm] - f(x) | = 0
f(x) ist hier die Grenzfunktion
Also muss ich erstmal die Grenzfunktion rausfinden, für die Grenzfunktion gilt: f(x) := [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x)
[/mm]
Der Grenzwert von [mm] \bruch{sin(nx)}{\wurzel{n}}:
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{sin(nx)}{\wurzel{n}} [/mm] = 0
Also ist die Grenzfunktion f(x) = 0
Jetzt gleichmäßige Konvergenz:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ( sup | [mm] \bruch{sin(nx)}{\wurzel{n}} [/mm] - 0 | =
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ( sup | [mm] \bruch{sin(nx)}{\wurzel{n}}| \le \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] = 0
Also ja, die Funktionenfolge ist gleichmäßig konvergent, damit ist die Funktionenfolge auch punktweise konvergent.
Jetzt b)
Da die Funktionenfolge gleichmäßig konvergent ist, ist die Grenzfunktion f(x) = 0 auf [mm] \IR [/mm] stetig. Stimmt das ?
Jetzt c) Wir haben [mm] f_n(x) [/mm] = [mm] \bruch{sin(nx)}{\wurzel{n}}
[/mm]
Ableitung:
f'_n(x) = cos(nx) [mm] \wurzel{n}
[/mm]
Ich berechne den [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] cos(nx) [mm] \wurzel{n} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Also ist die Grenzfunktion divergent, somit weder punktweise noch gleichmäßig konvergent, oder ?
Zusatzfragen: Wenn die Grenzfunktion divergiert, ist die Funktionenfolge nicht stetig, nicht punktweise konvergent und nicht gleichmäßig konvergent, oder ?
Gibt es stetige Funktionenfolgen, die divergieren?
Bedeutet divergent automatisch unstetig?
Wenn eine Funktion monoton ist, besitzt die Funktion dann automatisch Extrema ?
Vielen Dank im Voraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 Sa 23.01.2016 | | Autor: | pc_doctor |
Ich glaube, die Grenzfunktion MUSS konvergent sein, um dann auf gleichmäßige bzw. punktweise Konvergenz zu prüfen, oder ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Sa 23.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Betrachten Sie die Funktionenfolge [mm](f_n)_{n \in \IN},[/mm] die
> gegeben ist durch [mm]f_n: \IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] , [mm]f_n(x)[/mm] =
> [mm]\bruch{sin(nx)}{\wurzel{n}}[/mm]
>
> Sie dürfen verwenden, dass [mm]f_n[/mm] differenzierbar und f'_n
> stetig ist, für alle n [mm]\in \IN[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge gleichmäßig
> konvergent ist.
>
> b) Folgern Sie, dass die Grenzfunktion f stetig auf [mm]\IR[/mm]
> ist.
>
> c) Untersuchen Sie, ob die Folge der Ableitungen [mm](f'_n)_{n \in \IN}[/mm]
> ebenfalls (punktweise bzw. gleichmäßig) gegen f'
> konvergiert.
>
>
>
>
> Hallo,
> ich bitte um Kontrolle von a) und b) und um Tipps für c)
>
> a) Definition von gleichmäßiger Konvergenz:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup | [mm]f_n(x)[/mm] - f(x) | = 0
> f(x) ist hier die Grenzfunktion
>
> Also muss ich erstmal die Grenzfunktion rausfinden, für
> die Grenzfunktion gilt: f(x) := [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x)[/mm]
>
> Der Grenzwert von [mm]\bruch{sin(nx)}{\wurzel{n}}:[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{sin(nx)}{\wurzel{n}}[/mm] =
> 0
>
> Also ist die Grenzfunktion f(x) = 0
O.K.
>
> Jetzt gleichmäßige Konvergenz:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] ( sup |
> [mm]\bruch{sin(nx)}{\wurzel{n}}[/mm] - 0 | =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] ( sup |
> [mm]\bruch{sin(nx)}{\wurzel{n}}| \le \bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm] = 0
>
D u meinst das Richtige, hast es aber wirr aufgeschrieben.
Wir haben [mm] |f_n(x)-f(x)| \le \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] für alle n und alle x.
Das liefert die gleichmäßige Konvergenz.
> Also ja, die Funktionenfolge ist gleichmäßig konvergent,
> damit ist die Funktionenfolge auch punktweise konvergent.
Ja.
>
> Jetzt b)
> Da die Funktionenfolge gleichmäßig konvergent ist, ist
> die Grenzfunktion f(x) = 0 auf [mm]\IR[/mm] stetig. Stimmt das ?
Na ja. Konstante Fnktionen sind stetig !!!
>
> Jetzt c) Wir haben [mm]f_n(x)[/mm] = [mm]\bruch{sin(nx)}{\wurzel{n}}[/mm]
> Ableitung:
> f'_n(x) = cos(nx) [mm]\wurzel{n}[/mm]
>
> Ich berechne den [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] cos(nx)
> [mm]\wurzel{n}[/mm] = [mm]\infty[/mm]
Ne, so kannst Du das nicht schreiben. Es gibt x [mm] \in \IR [/mm] für die [mm] (f_n'(x)) [/mm] konvergiert (nenne mal ein solches x) und es gibt x [mm] \in \IR [/mm] für die [mm] (f_n'(x)) [/mm] divergiert (Beispiel ?)
Fazit: [mm] (f_n') [/mm] konv. auf [mm] \IR [/mm] nicht punktweise.
> Also ist die Grenzfunktion divergent, somit weder
> punktweise noch gleichmäßig konvergent, oder ?
Ja
>
> Zusatzfragen: Wenn die Grenzfunktion divergiert
Was meinst Du denn damit ????
> ist die
> Funktionenfolge nicht stetig, nicht punktweise konvergent
> und nicht gleichmäßig konvergent, oder ?
?????
> Gibt es stetige Funktionenfolgen, die divergieren?
Die Frage ist unsinnig ! Was ist eine divergente Funktion ?????
> Bedeutet divergent automatisch unstetig?
?????
> Wenn eine Funktion monoton ist, besitzt die Funktion dann
> automatisch Extrema ?
Nein. Betrachte mal f(x)=x auf [mm] \IR.
[/mm]
FRED
>
> Vielen Dank im Voraus.
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> > Jetzt c) Wir haben [mm]f_n(x)[/mm] = [mm]\bruch{sin(nx)}{\wurzel{n}}[/mm]
> > Ableitung:
> > f'_n(x) = cos(nx) [mm]\wurzel{n}[/mm]
> >
> > Ich berechne den [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] cos(nx)
> > [mm]\wurzel{n}[/mm] = [mm]\infty[/mm]
>
>
> Ne, so kannst Du das nicht schreiben. Es gibt x [mm]\in \IR[/mm]
> für die [mm](f_n'(x))[/mm] konvergiert (nenne mal ein solches x)
> und es gibt x [mm]\in \IR[/mm] für die [mm](f_n'(x))[/mm] divergiert
> (Beispiel ?)
>
Hallo, zum Beispiel x = 0 , damit ist
cos(n*0) * [mm] \wurzel{0} [/mm] = 0 und für x = 1 divergiert die Folge.
Aber ich verstehe noch nicht, warum ich es nicht so aufschreiben kann. Ich muss schauen, ob die Ableitung gleichmäßig beziehungsweise punktweise konvergiert. Dazu muss ich doch erst mal eine Grenzfunktion haben, oder ? Gut, in diesem Fall gibt es quasi keine Grenzfunktion, weil die Funktionenfolge divergiert. Aber ist ja egal, ob sie für manche Werte, zb x = 0 konvergiert, insgesamt divergiert sie, das ist doch das Wichtige, oder ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:10 So 24.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> > > Jetzt c) Wir haben [mm]f_n(x)[/mm] = [mm]\bruch{sin(nx)}{\wurzel{n}}[/mm]
> > > Ableitung:
> > > f'_n(x) = cos(nx) [mm]\wurzel{n}[/mm]
> > >
> > > Ich berechne den [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] cos(nx)
> > > [mm]\wurzel{n}[/mm] = [mm]\infty[/mm]
> >
> >
> > Ne, so kannst Du das nicht schreiben. Es gibt x [mm]\in \IR[/mm]
> > für die [mm](f_n'(x))[/mm] konvergiert (nenne mal ein solches x)
> > und es gibt x [mm]\in \IR[/mm] für die [mm](f_n'(x))[/mm] divergiert
> > (Beispiel ?)
> >
>
> Hallo, zum Beispiel x = 0 , damit ist
> cos(n*0) * [mm]\wurzel{0}[/mm] = 0 und für x = 1 divergiert die
> Folge.
>
> Aber ich verstehe noch nicht, warum ich es nicht so
> aufschreiben kann. Ich muss schauen, ob die Ableitung
> gleichmäßig beziehungsweise punktweise konvergiert. Dazu
> muss ich doch erst mal eine Grenzfunktion haben, oder ?
> Gut, in diesem Fall gibt es quasi keine Grenzfunktion, weil
> die Funktionenfolge divergiert. Aber ist ja egal, ob sie
> für manche Werte, zb x = 0 konvergiert, insgesamt
> divergiert sie, das ist doch das Wichtige, oder ?
Wenn Du schreibst, und das hast Du getan,
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] cos(nx) [mm] \wurzel{n} [/mm] = [mm] \infty [/mm] $ ,
so kann man das intepretieren als:
für jedes x gilt: $cos(nx) [mm] \wurzel{n} \to \infty$ [/mm] für $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Das ist aber nicht der Fall. In einer KLausur gäbe es dafür mit Sicherheit Punktabzug.
FRED
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Wie schreibe ich das dann am besten auf? So in Textform oder mathematisch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:09 Mo 25.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Wie schreibe ich das dann am besten auf? So in Textform
> oder mathematisch?
Z.B. so:
[mm] f_n'(0)=\wurzel{n}.
[/mm]
Oder: [mm] f_n'(\pi)=(-1)^n\wurzel{n}
[/mm]
Damit konvergiert [mm] (f_n') [/mm] auf [mm] \IR [/mm] nicht punktweise.
FRED
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