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Konvergenz: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:49 Di 04.12.2018
Autor: Schobbi

Aufgabe
Untersuchen sie die nachstehenden Reihen auf Konvergenz

[mm] \summe_{k=1}^{\infty}2^{k}(\bruch{k-1}{k})^{k^{2}} [/mm]

Hallo zusammen vielleicht könnt ihr mir bei obiger Aufgabe weiterhelfen:

Ich habe bis jetzt mit dem Wurzelkriterium gezeicht, dass [mm] (\bruch{k-1}{k})^{k^{2}} [/mm] absolut konvergiert. Ber was mach mich mit der [mm] 2^{k}? [/mm] kann ich einfach sagen, da [mm] \summe_{k=1}^{\infty}2^{k} [/mm] divergiert, divergiert auch die gesamte Reihe?

Wäre lieb wenn ihr mir hier eine Rückmeldung geben könntet. DANKE!

        
Bezug
Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:00 Di 04.12.2018
Autor: fred97


> Untersuchen sie die nachstehenden Reihen auf Konvergenz
>  
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}2^{k}(\bruch{k-1}{k})^{k^{2}}[/mm]
>  Hallo zusammen vielleicht könnt ihr mir bei obiger
> Aufgabe weiterhelfen:
>  
> Ich habe bis jetzt mit dem Wurzelkriterium gezeicht, dass
> [mm](\bruch{k-1}{k})^{k^{2}}[/mm] absolut konvergiert. Ber was mach
> mich mit der [mm]2^{k}?[/mm] kann ich einfach sagen, da
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}2^{k}[/mm] divergiert, divergiert auch die
> gesamte Reihe?
>  
> Wäre lieb wenn ihr mir hier eine Rückmeldung geben
> könntet. DANKE!


Sei [mm] a_k=2^{k}(\bruch{k-1}{k})^{k^{2}}. [/mm] Dann ist

[mm] $|a_k|^{1/k}=2(\bruch{k-1}{k})^{k}=2(1-\frac{1}{k})^k \to [/mm] 2/e$

Folgerung ... ?

Bezug
                
Bezug
Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:32 Di 04.12.2018
Autor: Schobbi

Super, vielen Dank für die schnelle Antwort.

da 2/e < 1 ist konvergiert das ganze :-)

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:47 Di 04.12.2018
Autor: fred97


> Super, vielen Dank für die schnelle Antwort.
>
> da 2/e < 1 ist konvergiert das ganze :-)

So ist es.


Bezug
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