Konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Mo 16.01.2006 | | Autor: | votec |
| Aufgabe | ∞
∑ [mm] 2/3^k-1 [/mm] soll geprüft werden ob sie konvergiert und die Summe
k=1 soll angegeben werden....
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Servus zusammen.....
Hier die Frage wie oben schon angedeutet sieht die Reihe folgender maßen aus 2 / 3 ^k-1.
Laut meiner Lösung im Buch konvergiert die Reihe aber nur für die geo.reihe mit x<1......wenn ich jetzt den Index laufen lasse und 2 einsetze dann divergiert sie plötzlich mhm ?
Kann mir einer plausibel erklären wie ich die kriterien anweden kann so das mann eine feste Linie hat....?
Wenn´s geht auch eine erklärung wie mann die Summe berechnet...
Danke schon mal im vorraus.......
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Votec.
Meinst du die Reihe [mm] $\sum_{i=1}^{\infty}\frac{2}{3^{k-1}}$?
[/mm]
Wenn ja, dann liegt eine geometrische Reihe zur Basis [mm] $\frac{1}{3}$ [/mm] vor. Dass eine solche konvergiert, sieht man an den Partialsummen:
[mm] $\sum_{i=1}^{n}\frac{2}{3^{n-1}} [/mm] = [mm] 2\sum_{i=0}^{n-1}\left(\frac{1}{3}\right)^i=2\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^n}{1-\frac{1}{3}}=3\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\right)$.
[/mm]
Für [mm] $n\to\infty$ [/mm] geht dieser Term gegen $3$, was auch schon dem gesuchten Reihenwert entspricht (denn der Reihenwert ist genau der Grenzwert der Folge der Partialsummen).
Die Konvergenz geometrischer Reihen kannst du auch über das Quotientenkriterium zeigen, wobei dies gewissermaßen ein Zirkelschluss wäre, da man das Quotientenkriterium selbst mit Hilfe der geometrischen Reihen beweist.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Mo 16.01.2006 | | Autor: | votec |
Erst mal Danke Hanno....
Genau diese Reihe meinte ich ....aber ehrlich gesagt versteh ich es als noch nicht woher kommt die 1/3 und welche partialsummen sind das das mann direkt sehen kann wie man da auf 3 kommt...?
Sorry .....aber ich kann die assoziation zur Geo. Reihe nicht herstellen ....
Habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt...
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Hallo!
Du kannst doch die 2 ausklammernm, und dann geht auch noch folgendes:
[mm] $\sum_{k=1}^{n}\frac{2}{3^{k-1}}=\frac{2}{3^{0}}+\frac{2}{3^{1}}+\dots+\frac{2}{3^{n-1}}$
[/mm]
[mm] $=2\left(\frac{1}{3^{0}}+\frac{1}{3^{1}}+\dots+\frac{1}{3^{n-1}}\right)$
[/mm]
[mm] $=2\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{0}+\left(\frac{1}{3}\right)^{1}+\dots+\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\right)$
[/mm]
[mm] $=2\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{3}\right)^{k-1}$
[/mm]
Gruß,
Christian
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