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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Mi 07.06.2006 | | Autor: | qute |
| Aufgabe | Es sei $r [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $0\le [/mm] r <1$ , [mm] $\alpha \in [/mm] (0,2 [mm] \pi [/mm] )$ sowie $n [mm] \in \IN$. [/mm] Entscheiden Sie, ob diese Folge für [mm] n\to \infty [/mm] konvergiert und berechnen Sie gegebenfalls den Grenzwert:
[mm] $x_{n}=r*\cos\alpha+ r^{2}*\cos 2\alpha+...+r^{n}*\cos n\alpha$ [/mm] |
Hallo
Kann mir vielleicht jemand helfen. Kann man irgendwie die Formel von Moivre hier verwenden
[mm] $r^{n}e^{i*n*\alpha}=r^{n}*(\cos n\alpha+i*\sin n\alpha)$
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 Mi 07.06.2006 | | Autor: | Tequila |
Bin mir grad nicht sicher, aber könnte man nicht eine Taylorreihe entwickeln und daran sehen wie es für n -> [mm] \infty [/mm] geht?
die Taylorreihe wird dann alternieren, aber vielleicht kann man dann mitm Leibtnitzkriterium was abschätzen?
Also eventuell die Reihe dann in ne Folge umformen (wenn das überhaupt möglich ist)
Nur so ne Idee von mir
Könnte aber auch komplet daneben liegen ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:55 Mi 07.06.2006 | | Autor: | t.sbial |
Hallo qute,
Der erste Teil der Aufgabe ist eigentlich erschreckend einfach, wenn man sich an das Majorantenkriterium erinnert!
es ist ja [mm] x_{n}=\summe_{k=1}^{n}r^{k}cos(k \alpha)
[/mm]
Also ist [mm] x_{n} [/mm] eine Folge von Partialsummen.
Und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}=\summe_{n=1}^{\infty}r^{n}cos(n \alpha)
[/mm]
Die koeffizienten lassen sich wegen des cosinus leicht abschätzen es gilt:
[mm] |r^{n}cos(n\alpha)|\le|r^{n}|=r^{n} [/mm] und wegen r aus [0,1) ist die zugehörige geom. Reihe eine Majorante.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 Mi 07.06.2006 | | Autor: | t.sbial |
Der zweite Teil ist etwas knifflig und kann tatsächlich mit der Eulerformel gelöst werden.Als Hinweise:
[mm] cos(n\alpha)=\bruch{e^{in\alpha}+e^{-in\alpha}}{2}
[/mm]
und beachte [mm] e^{in\alpha}=(e^{i\alpha})^{n}
[/mm]
sowie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(re^{i\alpha})^{n}=0 [/mm] , da r aus [0,1)
Ersetze also in [mm] x_{n} [/mm] die cosinusteile durch obigen ausdruck und ordne die Terme so um dass du r und [mm] e^{i\alpha} [/mm] unter dass n (bzw. k) bekommst. Beachte dann noch die Regel für die geometrische Reihe
[mm] \summe_{k=0}^{n}q^{k}=\bruch{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] und trickse ein bisschen hier und da. Zum schluss schau dir an was für n gegen unendlich passiert und du wirst sehen dass sich einiges weghebt. Als Ergebnis bekomm ich dann(status vor 5. min)
[mm] \bruch{r(cos(\alpha)-r)}{r²-2rcos(\alpha)+1} [/mm] was wahrscheinlich sogar stimmt.Zumindest für [mm] \alpha=2Pi [/mm]
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