Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm] Sei(a_{n})_{n\in \IN} [/mm] eine Folge reeller Zahlen. Für n [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] a_{n}^{+}:= [/mm] max [mm] \{{a_{n},0}\} [/mm] und [mm] a_{n}^{-}:= [/mm] max [mm] \{{-a_{n},0}\}.
[/mm]
Zeigen Sie die Gültigkeit folgender Aussagen:
a) Die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] ist genau dann absolut konvergent, wenn die Reihen [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n}^{+} [/mm] und [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n}^{-} [/mm] konvergieren.
b) Ist die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] bedingt konvergent, so gilt [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n}^{+}= \infty=\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}^{-}. [/mm] |
hallo,
kann mir jemand erklären was mit [mm] a_{n}^{+}:= [/mm] max [mm] \{{a_{n},0}\} [/mm] und [mm] a_{n}^{-}:= [/mm] max [mm] \{{-a_{n},0}\} [/mm] gemeint ist, und was [mm] a_{n}^{+} [/mm] und [mm] a_{n}^{-} [/mm] überhaupt bedeutet?
|
|
| |
|
> [mm]Sei(a_{n})_{n\in \IN}[/mm] eine Folge reeller Zahlen. Für n [mm]\in \IN[/mm]
> sei [mm]a_{n}^{+}:=[/mm] max [mm]\{{a_{n},0}\}[/mm] und [mm]a_{n}^{-}:=[/mm] max
> [mm]\{{-a_{n},0}\}.[/mm]
> Zeigen Sie die Gültigkeit folgender Aussagen:
> a) Die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm] ist genau dann
> absolut konvergent, wenn die Reihen [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}^{+}[/mm]
> und [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}^{-}[/mm] konvergieren.
> b) Ist die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm] bedingt
> konvergent, so gilt [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}^{+}= \infty=\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}^{-}.[/mm]
>
> hallo,
> kann mir jemand erklären was mit [mm]a_{n}^{+}:=[/mm] max
> [mm]\{{a_{n},0}\}[/mm] und [mm]a_{n}^{-}:=[/mm] max [mm]\{{-a_{n},0}\}[/mm] gemeint
> ist, und was [mm]a_{n}^{+}[/mm] und [mm]a_{n}^{-}[/mm] überhaupt bedeutet?
Hallo,
max [mm] \{{a_{n},0}\} [/mm] ist die größere der beiden Zahlen [mm] a_n [/mm] und 0.
Du kannst Dir überlegen, daß max [mm] \{{a_{n},0}\} [/mm] immer positiv oder =0 ist, von daher ist die Bezeichnung [mm] a_{n}^{+} [/mm] schon nahezu selbsterklärend:
Es entsteht aus der gegebenen Folge [mm] (a_n) [/mm] eine neue Folge [mm] (a_{n}^{+}), [/mm] indem die positiven Folgenglieder an ihrer Stelle bleiben und die negativen durch 0 ersetzt werden.
Beispiel:
[mm] (a_n)=(2,5,-3,4,-9,0,1,\pi,-\pi,...)
[/mm]
[mm] (a_{n}^{+})=(2,5,0,4,0,0,\pi,0,...)
[/mm]
Für [mm] a_{n}^{-}:= [/mm] max [mm] {{-a_{n},0}\} [/mm] wählt man eben jeweils das Maximum aus 0 und [mm] -a_{n} [/mm] aus.
Im Beispiel erhält man:
[mm] (a_{n}^{-})=(0,0,3,0,9,0,0,0,\pi,...)
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 12:46 Do 14.12.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo Angela,
zwei Kleinigkeiten, die eigentlich nicht der Erwähnung wert sind, die den Fragesteller aber vielleicht doch verwirren könnten:
> max [mm]\{{a_{n},0}\}[/mm] ist die größere der beiden Zahlen [mm]a_n[/mm] und
> 0.
> Du kannst Dir überlegen, daß max [mm]\{{a_{n},0}\}[/mm] immer
> positiv
... oder Null (=nicht-negativ)...
> ist, von daher ist die Bezeichnung [mm]a_{n}^{+}[/mm] schon
> nahezu selbsterklärend:
> Es entsteht aus der gegebenen Folge [mm](a_n)[/mm] eine neue Folge
> [mm](a_{n}^{+}),[/mm] indem die positiven Folgenglieder an ihrer
> Stelle bleiben und die negativen durch 0 ersetzt werden.
>
> Beispiel:
>
> [mm](a_n)=(2,5,-3,4,-9,0,1,\pi,-\pi,...)[/mm]
> [mm](a_{n}^{+})=(2,5,0,4,0,0,\pi,0,...)[/mm]
>
> Für [mm]a_{n}^{-}:=[/mm] max [mm]{{-a_{n},0}\}[/mm] wählt man eben jeweils
> das Maximum aus 0 und [mm]-a_{n}[/mm] aus.
>
> Im Beispiel erhält man:
> [mm](a_{n}^{-})=(0,0,3,0,9,0,0,0,-\pi,...)[/mm]
[mm](a_{n}^{-})=(0,0,3,0,9,0,0,0,\red{+}\pi,\ldots)[/mm]
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
nun gut, nach überlegungen bin ich zu dem schluss gekommen, dasswenn ich die Reihen [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n}^{+} [/mm] und [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n}^{-} [/mm] addiere, dann komme ich wieder auf [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n}, [/mm] denn die summen ergänzen sich. weiter kann man auch sehr leicht feststellen, dass die reihen [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n}^{+} [/mm] und [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n}^{-} [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] konvergieren, aber ich habe noch das allgemeine problem konergenz zu beweisen, kann mir da nochmal jemand langsam und deutlich für ganz blöde erklären wie man das macht?
|
|
|
| |
|
> nun gut, nach überlegungen bin ich zu dem schluss gekommen,
> dasswenn ich die Reihen [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_{n}^{+}[/mm] und
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_{n}^{-}[/mm] addiere, dann komme ich
> wieder auf [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_{n},[/mm] denn die summen
> ergänzen sich.
Vorsicht, das kann gründlich in die Hose gehen, es geht nur unter bestimmten Voraussetzungen, denn Du hast es mit unendlichen Summen zu tun, da spielt die Reihenfolge der Summation u.U. eine Rolle. (s. Umordnungssatz)
Abgesehen davon ist [mm] a_n \not= a_{n}^{+}+a_{n}^{-}.
[/mm]
Richtig ist [mm] |a_n| [/mm] = [mm] a_{n}^{+}+a_{n}^{-}
[/mm]
> weiter kann man auch sehr leicht feststellen, dass die reihen [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_{n}^{+}[/mm]
> und [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_{n}^{-}[/mm] gegen [mm]\infty[/mm]
> konvergieren,
Das verstehe ich überhaupt nicht. Wir wissen doch zunächst gar nichts weiter über diese Reihen?
Wie kommst Du darauf, daß sie gegen unendlich gehen?
>aber ich habe noch das allgemeine problem
> konergenz zu beweisen, kann mir da nochmal jemand langsam
> und deutlich für ganz blöde erklären wie man das macht?
Hm, ein Lehrbuch über Konvergenz kann ich natürlich nicht schreiben...
Wie geht man mit Konvergenz um? Zunächst einmal muß man die Definition können und verstehen.
Diese wendet man oftmals direkt an, um Konergenz zu zeigen.
Dann ranken sich um die Konvergenz von Reihen allerlei Kriterien, z.B. Cauchy, Majoranten, Quotienten,
die muß man kennen, und im Falle eines Falles anwenden.
Ein bißchen macht das die Übung, Voraussetzung ist aber immer die Kenntnis der entsprechenden Def. und Sätze.
Konkret zur Aufgabe:
a) bedeutet, daß zu zeigen ist:
i) $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] $ ist absolut konvergent ==> $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n}^{+} [/mm] $ und $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n}^{-} [/mm] $ konvergieren.
ii)$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n}^{+} [/mm] $ und $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n}^{-} [/mm] $ konvergieren ==>$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] $ ist absolut konvergent
zu i) wenn $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] $ absolut konvergent ist, bedeutet das, daß $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} |a_{n}| [/mm] $ konvergiert.
Du kannst nun auf die beiden zu untersuchenden Reihen das Majorantenkriterium anwenden.
zu ii) Seien $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n}^{+} [/mm] $ und [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n}^{-} [/mm] konvergent, [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n}^{+}=a [/mm] und [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n}^{-}=b.
[/mm]
zu [mm] \varepsilon/2 [/mm] >0 findest Du dann ein [mm] K_0 [/mm] mit
[mm] |\summe_{n=1}^{k} a_{n}^{+}-a|<\varepsilon/2 [/mm] und [mm] |\summe_{n=1}^{k} a_{n}^{-}-b|<\varepsilon/2 [/mm] fur alle [mm] k>K_0
[/mm]
Nun betrachte [mm] |\summe_{n=1}^{k} |a_{n}| [/mm] - a-b |
Gruß v. Angela
|
|
|
|
