Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:24 Mi 18.04.2007 | | Autor: | MI5 |
| Aufgabe | Untersuchen sie die nachstehenden Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}n^{2}*\bruch{\bruch{2}{n}+\bruch{3}{n^{2}}+\bruch{4}{n^{3}}}{n+2\wurzel{n}} [/mm] |
Wie komme ich hier auf die Lösung? Wenn ich die Faktoren einzeln betrachte, dann komme ich am Ende auf unendlich mal 0, also 0. Aber wenn man es mit dem Taschenrechner ausprobiert ist der Grenzwert 2.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 Mi 18.04.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
also ich kenne das wie folgt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}n^{2}\cdot{}\bruch{\bruch{2}{n}+\bruch{3}{n^{2}}+\bruch{4}{n^{3}}}{n+2\wurzel{n}}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{2*n^{2}}{n}+\bruch{3*n^{2}}{n^{2}}+\bruch{4n^{2}}{n^{3}}}{n+2\wurzel{n}}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2n+3+\bruch{4}{n}}{n+2\wurzel{n}}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{2n}{n}+\bruch{3}{n}+\bruch{4}{n^{2}}}{\bruch{n}{n}+\bruch{2\wurzel{n}}{n}}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2+\bruch{3}{n}+\bruch{4}{n^{2}}}{1+\bruch{2\wurzel{n}}{n}} [/mm]
[mm] \to\bruch{2}{1}=2 [/mm] , weil [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3}{n}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{4}{n^{2}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2\wurzel{n}}{n} \to0
[/mm]
MfG
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