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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:26 Mi 08.08.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Es sei [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] eine Folge, die gegen a konvergiere. Man beweise, dass dann die Folge [mm] (b_n)_{n\in\IN}, [/mm] definiert durch
[mm] b_n:=\bruch{1}{n+1}*(a_0+a_1+...+a_n) [/mm] für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
ebenfalls gegen a konvergiert. |
Hi,
ich weiß nicht, wie ich oben genanntes zeigen soll.
Kann mir jemand weiterhelfen.
Ich habe mir schon gedacht, man könnte so ansetzen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_n=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n+1}*\limes_{n\rightarrow\infty}(a_0+a_1+...+a_n)
[/mm]
Aber [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n+1}\to0
[/mm]
und das irritiert mich.
Oder doch so (dieser Schritt ist mir erst jetzt beim posten eingefallen, allein posten kann [evtl.] manchmal helfen  ):
[mm] b_n:=\bruch{1}{n+1}*(a_0+a_1+...+a_n)
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_n=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n+1}*a_0+\bruch{1}{n+1}*a_1+...+\bruch{1}{n+1}*a_n
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}n*\bruch{1}{n+1}*\limes_{n\rightarrow\infty}a_n
[/mm]
[mm] =1*\limes_{n\rightarrow\infty}a_n\toa [/mm] nach Voraussetzung.
Gut, letzteres würde passen, aber den Schritt mit [mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}n\cdot{}\bruch{1}{n+1}\cdot{}\limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] habe ich mehr oder weniger aus den Finger gesogen, damit es letztendlich passt; sollte der Weg richtig sein, warum kann ich dieser Schritt?
Oder geht es doch ganz anders?
MfG
barsch
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:16 Mi 08.08.2007 | | Autor: | Mumrel |
Hi barsch,
eine vage Idee, ein Schuss ins Blaue.
Ich würde so ansetzten:
Da die Folge [mm] (a_n) [/mm] konvergiert ist sie beschränkt.
D.h. der hintere Klammerausdruck lautet für große n
(a + a + a + a ...+a) wobei a sich immer nur um [mm] \varepsilon [/mm] vom Grenzwert von [mm] (a_n) [/mm] unterscheidet.
Der vordere Teil also das 1/(n+1) berechnet dann quasi den "Durschnitt (wobei halt noch +1 gerechnet wird)".
Da die Werte hinten immer mehr an den Grenzwert kommen, würde ich intuitiv erwarten, dass [mm] (b_n) [/mm] gegen den gleichen Grenzwert konvergiert wie [mm] (a_n).
[/mm]
Was meinst zu dem Gedanken? Falls er dich überzeugt, so müsste man das ganze natürlich noch anständig formuleiren :)
Grüße Mumrel
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