Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Mo 20.08.2007 | | Autor: | Borti |
Hallo Ihr,
ich seid hier alle ne super Hilfe und das klappt immer so klasse und wird alles so verständlich.
Vielleicht könnt ihr mich ein weiteres mal unterstützen:
Ich soll zeigen dass die Folge
xn= [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k^2} [/mm] konvergiert
dazu soll ich die Partialbruchzerlegung von [mm] \bruch{1}{k(k-1)} [/mm] beachten.
Jetzt habe ich an Teleskopsummen gedacht, aber bin mir nicht sicher ob ichs so machen kann und wenn ja wo ich am besten ansetzte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Mo 20.08.2007 | | Autor: | Borti |
Könntest du mir noch eben den Ansatz für die Teleskopsumme erzählen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:09 Mo 20.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Borti!
Wie lautet denn das Ergebnis Deiner  Partialbruchzerlegung? Und dann mal die Summe für die ersten Glieder aufschreiben und sehen, was sich da alles gegenseitig eliminiert ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Mo 20.08.2007 | | Autor: | Borti |
Ich habe für die PBZ [mm] \bruch{1}{x*(x-1)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x} [/mm] + [mm] \bruch{B}{(x-1)} [/mm]
Für die ersten Glieder der Folge [mm] \bruch{1}{1}, \bruch{1}{4}, \bruch{1}{9} [/mm] , [mm] \bruch{1}{16}
[/mm]
Sry, wegen den ganzen Frage, aber ich habe noch nie mit dieser Form gerechnet habs noch versucht zu lesen und zu verstehen.
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Hallo Borti,
du musst ja zunächst mal die Koeffizienten A und B berechnen, damit du die Reihe als Summe zweier Reihen darstellen kannst.
Dazu mache [mm] \frac{A}{x}+\frac{B}{x-1} [/mm] gleichnamig, also
[mm] ...=\frac{A(x-1)+Bx}{x(x-1)}=....
[/mm]
Das mal ausmultiplizieren und dann nen Koeffizientenvergleich machen, das muss ja wieder [mm] \frac{1}{x(x-1)} [/mm] sein....
Dann erst kannst du aus den beiden Reihen, die du da erhältst, ne Teleskopsumme basteln.
Aber mache zuerst mal die PBZ fertig, dann sehen wir weiter, wenn's noch hakt
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Mo 20.08.2007 | | Autor: | Borti |
Ok das habe ich jetzt gemacht:
A(x-1)+ Bx = 1
für x=1 folgt B=1
für x=0 folgt -A=1 => A=-1
f(x)= [mm] \bruch{-1}{x} [/mm] + [mm] \bruch{1}{x-1}
[/mm]
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Hi nochmal,
> Ok das habe ich jetzt gemacht:
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> A(x-1)+ Bx = 1
>
> für x=1 folgt B=1
> für x=0 folgt -A=1 => A=-1
>
> f(x)= [mm]\bruch{-1}{x}[/mm] + [mm]\bruch{1}{x-1}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Lass uns mal zu den ursprünglichen Bezeichnungen zurückkehren, damit das nicht durcheinander kommt.
Nehmen wir noch den ersten Summanden (für k=1) raus, um nicht in die Verdrückung zu kommen, durch 0 teilen zu müssen.
Mit Loddars obiger Anmerkung folgt, dass [mm] 0\le\sum\limits_{k=2}^n\frac{1}{k^2}\le\sum\limits_{k=2}^n\frac{1}{k(k-1)}
[/mm]
Mit der berechneten PBZ kann man nun
[mm] \sum\limits_{k=2}^n\frac{1}{k(k-1)} [/mm] darstellen als [mm] \sum\limits_{k=2}^n\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)
[/mm]
Nun betrachten wir mal so eine n-te Partialsumme:
[mm] S_n=\sum\limits_{k=2}^n\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)
[/mm]
Schreib diese Summe mal weitestgehend aus und du wirst sehen,
dass sich sehr viel weghebt.
Den GW erhältst du dann durch den Grenzübergang [mm] n\to\infty
[/mm]
[mm] \red{\text{Edit:}} [/mm] Dann hast du also deine Ursprungsreihe zwischen 2 Werten "eingequetscht", so dass ihr nichts anderes als Konvergenz übrig bleibt - das nennt sich "Sandwich-Theorem" oder so ähnlich (bei uns in der VL seinerzeit auch "Lemma von den 2 Polizisten und dem Gefangenen" genannt 
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Mo 20.08.2007 | | Autor: | Borti |
Das is mir schon alles richtig klar, erstmal vielen Dank dafür, nur eine Frage, wie löse ich diese Summe unten weit auf (einfach Werte einsetzten?)
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einfach mal ausschreiben:
[mm] \sum\limits_{k=2}^n\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+.....+\left(\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}\right)+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)
[/mm]
Hier siehst du nun, dass sich in dieser netten Teleskopsumme fast alles weghebt.
Was bleibt übrig?
Und was passiert damit für [mm] n\to\infty [/mm] ?
Na...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Mo 20.08.2007 | | Autor: | Borti |
Also ich glaube es ist [mm] \bruch{1}{n-2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] welcher ja gegen Null laufen würde
Aber woher kam eigentlich:
[mm] \left(\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}\right)
[/mm]
Und bei dem 0< .... vorhin wieso durfte ich da dann eigentlich mit der Summe der PBZ weiterrechnen
Sry ich sollte Mathe lieber lassen aber eigentlich macht dieses entdecken auch ungemein Spaß
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Hi,
schau noch mal genauer hin ![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]")
So wie ich das sehe, hebt sich immer der erste Term in jeder Klammer gegen den zweiten Term in der Klammer davor weg.
Also alles mit Ausnahme der [mm] \red{1} [/mm] in der ersten Klammer und der [mm] \red{-\frac{1}{n}} [/mm] in der letzten Klammer.
Bleibt also [mm] 1-\frac{1}{n} [/mm] und das [mm] \to [/mm] 1 für [mm] n\to\infty
[/mm]
Das [mm] \left(\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}\right) [/mm] ist genau der Ausdruck, den man erhält, wenn man für $k$ den voretzten Wert - also $k=n-1$ einsetzt.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Mo 20.08.2007 | | Autor: | Borti |
Bist ein Schatz, vielen lieben Dank fpür die Hilfe :)
Bleibt eigentlich nur noch eine kleine Verständinsfrage, wieso durften wir bei $ [mm] 0\le\sum\limits_{k=2}^n\frac{1}{k^2}\le\sum\limits_{k=2}^n\frac{1}{k(k-1)} [/mm] $
a) das so machen, ich glaube wegen diesem Einengen und
b) wieso konnte man ab hier einfach mit der Summe der PBZ weitermachen
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Moin nochmal,
> Bist ein Schatz, vielen lieben Dank fpür die Hilfe :)
gerne
> Bleibt eigentlich nur noch eine kleine Verständinsfrage,
> wieso durften wir bei
> [mm]0\le\sum\limits_{k=2}^n\frac{1}{k^2}\le\sum\limits_{k=2}^n\frac{1}{k(k-1)}[/mm]
Loddar hat ja oben festgestellt, dass [mm] 0\le\frac{1}{k^2}\le\frac{1}{k(k-1)} [/mm] ist.
Das gilt ja für alle [mm] k\ge [/mm] 2, dann sicher auch für die Summe....
> a) das so machen, ich glaube wegen diesem Einengen
genau
> b) wieso konnte man ab hier einfach mit der Summe der PBZ
> weitermachen
weil das genau derselbe Ausdruck ist für die Reihe [mm] \sum\frac{1}{k(k-1)} [/mm] und wir damit leicht den GW berechnen konnten, den wir als obere Schranke brauchten, die untere Schranke 0 hatten wir trivialerweise aus der Abschätzung oben.
Im Endeffekt als Resummée haben wir also [mm] 0\le\sum\limits_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k^2}\le [/mm] 1
Das müssten wir streng genommen noch kosmetisch aufpolieren, da die Ursprungsreihe bei k=1 losging.
Wir addieren also den Summanden für k=1 von [mm] \sum\limits_{k}\frac{1}{k^2}, [/mm] also 1 zur ganzen Ungleichungskette und erhalten:
[mm] 1\le\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}\le [/mm] 2
Bleibt im Prinzip dieselbe Einquetschung
LG
schachuzipus
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
