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Konvergenz: Übungsaufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:23 Do 02.12.2004
Autor: mathenullhoch2

Hi ihr Mathematiker.
Ich habe hier eine Aufgabe an der ich schon seit 3 Tagen sitze.
Vielleicht hat jemand von euch eine Ahnung wie es zu lösen ist.

Untersuchen Sie folgende Reihe auf Konvergenz:

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{2}}{ \wurzel{n^{7}+1}}. [/mm]

Ich habe mir da folgendes überlegt:

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{2}}{ \wurzel{n^{7}+1}}<\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{2}}{ \wurzel{n^{7}}}=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{2}}{n^\bruch{7}{2} }=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^\bruch{3}{2} } [/mm]

Da ich jetzt ne Majorante habe konvergiert die Reihe also. Aber auch hier wieder die Frage: Mit welchem Grenzwert?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Konvergenz: Wozu Grenzwert?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:06 Do 02.12.2004
Autor: Marcel

Hallo mathenullhoch2!

> Hi ihr Mathematiker.
>  Ich habe hier eine Aufgabe an der ich schon seit 3 Tagen
> sitze.
>  Vielleicht hat jemand von euch eine Ahnung wie es zu lösen
> ist.
>  
> Untersuchen Sie folgende Reihe auf Konvergenz:
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{2}}{ \wurzel{n^{7}+1}}. [/mm]
>  
>
> Ich habe mir da folgendes überlegt:
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{2}}{ \wurzel{n^{7}+1}}<\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{2}}{ \wurzel{n^{7}}}=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{2}}{n^\bruch{7}{2} }=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^\bruch{3}{2} } [/mm]

[ok] (Wobei ich die Abschätzungen ohne Summenzeichen geschrieben hätte, also so:
Es gilt für alle $n [mm] \in \IN$: [/mm]
[m]\bruch{n^{2}}{ \wurzel{n^{7}+1}}<\bruch{n^{2}}{ \wurzel{n^{7}}}=\bruch{n^{2}}{n^\bruch{7}{2}}=\bruch{1}{n^\bruch{3}{2}}[/m]
und daraus folgt dann:
...)
  
>
> Da ich jetzt ne

konvergente (!!!)

> Majorante habe

(vgl. dazu z.B. []Skript zur Analysis, Beispiel 6.9 (was auch für [mm] $\alpha \in \IR$ [/mm] entsprechend gilt) auf Seite 53f. (skriptinterne Zählung))

> konvergiert die Reihe also.
> Aber auch hier wieder die Frage: Mit welchem Grenzwert?

Wozu willst du denn den Grenzwert angeben? Wenn die Aufgabe lautet:
Untersuchen Sie folgende Reihe auf Konvergenz:
so genügt das, was du getan hast. Andernfalls hätte der Aufgabensteller z.B. schreiben müssen:
Untersuchen Sie folgende Reihe auf Konvergenz und geben Sie ggf. den Grenzwert an.
  
Aber schön, dass du dir Gedanken dazu machen willst. Brauchst du aber nicht, du hast die Aufgabe bereits vollständig gelöst! :-)

Viele Grüße,
Marcel
Bezug
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