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Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:47 Mo 10.03.2008
Autor: anna_h

Aufgabe
a) Berechnen Sie den Wert der Reihe: [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n+1)\wurzel{n}-n\wurzel{n-1}}{n²+n} [/mm] mit Hilfe der Teilsummen.
b) zEIGEN sIE OB FOLGENDE rEIHE kONVERGIERT ODER dIVIDIERT (mit Begründung) [mm] \bruch{1}{\wurzel[3]{1*2*3}}+\bruch{1}{\wurzel[3]{2*3*4}}+\bruch{1}{\wurzel[3]{3*4*5}}... [/mm]

ZU a) habe ich das ganze vereinfacht zu [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}}+\bruch{\wurzel{n-1}}{n+1} [/mm]
aber weiter weiss ich nicht.
Zu b) fehlt mir jeder ansatz. Auser das mir mein gefühl sagt das es konvertiert.

        
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Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:27 Mo 10.03.2008
Autor: leduart

Hallo
1. Reihe schreib die ersten paar glieder mal hin, allerdings mit dem - Zeichen!
lass die Wurzeln im Zähler
2. Reihe, eine Reihe die katholisch wird ist zwar selten, aber die hier konvergiert auch nicht!
[mm] \wurzel[3]{3*3*3}<\wurzel[3]{3*4*5}<\wurzel[n]{5*5*5} [/mm]
Das ist die Idee! jetzt such ne Minorante die divergiert! Denk dran, dabei kommts nicht auf die ersten paar Glieder an!
Gruss leduart


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Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:52 Mo 10.03.2008
Autor: anna_h

Zu 1 habe ich verstanden. Aber zu 2 verstehe ich nichts. Was ist den Katholisch?
Was ist eine Minorante?

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Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:28 Mo 10.03.2008
Autor: schachuzipus

Hallo anna_hEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

,

> Zu 1 habe ich verstanden. Aber zu 2 verstehe ich nichts.
> Was ist den Katholisch?

;-) Lies nochmal genau, was du in deinem ersten post geschrieben hast, "deinem Gefühl nach ......"

>  Was ist eine Minorante?

Na, du wirst doch bestmmt das Majorantenkriterium bzw. Vergleichskriterium kennen.

Um die Konvergenz einer Reihe $\sum a_n$ nachzuweisen, suchst du eine konvergente Majorante, also eine "größere" Reihe $\sum b_n$, also eine mit $b_n\ge a_n$ für fast alle $n$.

Wenn dann die "größere" Reihe konvergiert, also einen endlichen Wert hat, so hat's die kleinere sicher auch und ist somit auch konvergent


Um die Divergenz einer Reihe $\sum a_n$ nachzuweisen, suchst du eine divergente Minorante, also eine "kleinere" Reihe $\sum b_n$, also eine mit $b_n\le a_n$ für fast alle $n$.

Wenn dann die kleiner Reihe schon gegen \infty divergiert, was bleibt da deiner armen größeren Ausgangsreihe anderes übrig, als ebenfalls zu divergieren

Schreibe deine Reihe mal etwas anders und versuche, leduarts Tipp umzusetzen

Du hast $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n(n+1)(n+2)}$

Suche dazu mal eine kleinere divergente Reihe, also eine divergente Minorante

(Es bieten sich immer bekannte Reihen an, welches ist denn so die bekannteste divergente Reihe? Doch die harmonische Reihe)

Denk' also mal an die harmonische Reihe und versuche ne Abschätzung...


LG

schachuzipus


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Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:49 Di 11.03.2008
Autor: anna_h

Leider verstehe ich nur bahnhof.
Ich habe in meiner Formelsammlung (Bartsch) zwar auch was gefunden, aber das sieht aus wie asiatische Schriftzeichen. Ich kenne (ein bisschen) das Wurzelkriterium. Aber anwenden kann ich das leider auch nicht. Tut mir leid. Aber ich stehe total auf dem Schlauch.

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Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:54 Di 11.03.2008
Autor: leduart

Hallo anna
Ich kann mir nicht vorstellen, dass ihr Majorantenkriterium nicht hattet.
Aber ich versuchs mal zu erklären:
Du hast eine Reih [mm] \summe_{i=1}^{\infty} a_i [/mm] von der du sicher weisst, dass sie divergiert, also die Summe wird beliebig groß.
jetzt hast du eine zweite Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} b_n [/mm]  von der du noch nix weisst.
Aber wenn jetzt ab n=17 (oder ab irgend nem anderen festen n) alle [mm] b_n [/mm] grösser sind als die [mm] a_n [/mm] dann muss doch auch [mm] \summe_{i=1}^{\infty} b_n >\summe_{i=1}^{\infty} a_i [/mm] sein, und da schon die kleinere Summe unendlich ist natürlich die größere erst recht.
Wenn man also vermutet, dass eine Reihe divergiert versucht man die Summanden mit ner bekannten divergenten Reihe zu vergleichen. Dabei nimmt man natürlich nicht so ne unglaublich stark divergierende Reihe wie [mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] i, sondern meistens die divergente Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} a_n [/mm] , die harmonische Reihe
Das war mein Vorschlag! also versuch die [mm] a_n [/mm] deiner Reihe mit der harmonischen Reihe zu vergleichen. denk auch dran, wenn [mm] \summe_{i=1}^{\infty} a_i [/mm] divergiert, dann natürlich auch [mm] \summe_{i=1}^{\infty} r*a_i=r*\summe_{i=1}^{\infty} a_i [/mm]
r irgend ne feste Zahl.
Umgekehrt, das Majorantenkriterium, wenn [mm] \summe_{i=1}^{\infty} a_i [/mm] konvergiert und  du für [mm] \summe_{i=1}^{\infty} b_i [/mm]  zeigen kannst, dass ab irgend nem i alle [mm] b_i Gruss leduart    

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Konvergenz: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 12:51 Mi 12.03.2008
Autor: anna_h

Als bei a) erkenne ich nichts.

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Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:51 Mi 12.03.2008
Autor: anna_h

zu b) muss ich dann sagen das es ganz klar divergiert, da die werde 1,817+2,88+3,914+... sind und viel stärker steigen als bei der harmonischen Reihe

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Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:42 Mi 12.03.2008
Autor: leduart

Hallo anna
Die Werte der [mm] a_n [/mm] sind alle kleiner 1. Was du schreibst versteh ich nicht.
Und für nen Beweis reichen ein paar Zahlen nicht, da musst du echt abschätzen. Ich habs dir doch an nem Beispiel vorgemacht. das musst du allgemein für [mm] a_n [/mm] machen.
Gruss leduart

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Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:09 Mi 12.03.2008
Autor: Marcel

Hallo Anna,

> zu b) muss ich dann sagen das es ganz klar divergiert, da
> die werde 1,817+2,88+3,914+... sind und viel stärker

wo kommen diese Zahlen her? [mm] $\frac{1}{\sqrt[3]{6}} \approx [/mm] 0,55$, [mm] $\frac{1}{\sqrt[3]{24}} \approx [/mm] 0,35$...

> steigen als bei der harmonischen Reihe

das wäre die Idee, also der Vergleich mit der harmonischen Reihe. Aber Du musst das noch allgemein und sauber notieren. Als Tipp:
Für jedes $k [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:

$k*(k+1)*(k+2) [mm] \le (k+2)^3$ [/mm]

Das hat zur Folge (bea.: $x [mm] \mapsto \sqrt[3]{x}$ [/mm] ist streng monoton auf [mm] $[0,\infty$)), [/mm] dass für jedes $k [mm] \in \IN$ [/mm] gilt

[mm] $\frac{1}{k+2} \le \frac{1}{\sqrt[3]{k*(k+1)*(k+2)}}$ [/mm]

Also:
Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm]

[mm] $\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt[3]{k*(k+1)*(k+2)}} \ge [/mm] ...$

Schlussendlich solltest Du dann beachten, dass [mm] $\sum_{k=1}^n a_k=\sum_{k=3}^{n+2} a_{k-2}$ [/mm] und wenn Du weißt, dass [mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$ [/mm] divergiert, dann auch [mm] $\sum_{k=3}^\infty a_k$. [/mm]

Gruß,
Marcel

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Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:28 Mi 12.03.2008
Autor: anna_h

Der Sachverhalt ist mir jetzt klar. Aber noch nicht wie ich es richtig hinschreibe: Wie würde formal richtig eine Antwort (wennn es geht vollständig) aussehen?
Wäre sehr dankbar, denn morgen früh heisst es klausurbestehen!

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Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:57 Mi 12.03.2008
Autor: Marcel

Hallo Anna,

das ist doch nur noch Hinschreiberei:

Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:

[mm] $\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt[3]{k*(k+1)*(k+2)}} \ge \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+2}=\sum_{k=3}^{n+2} \frac{1}{k} \ge \sum_{k=3}^n \frac{1}{k}$ [/mm]

(Wenn Du nicht weißt, dass [mm] $\sum_{k=3}^1...=\sum_{k=3}^2...=0$, [/mm] dann nimm' oben o.B.d.A. $n [mm] \ge [/mm] 3$ an!)

Weil [mm] $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}$ [/mm] (gegen [mm] $\infty$) [/mm] divergiert, divergiert auch [mm] $\sum_{k=3}^\infty \frac{1}{k}$ [/mm] (gegen [mm] $\infty$). [/mm]

D.h.:
Wir haben für die Reihe [mm] \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\sqrt[3]{k*(k+1)*(k+2)}} [/mm] eine divergente Minorante gefunden, weshalb diese Reihe dann selbstverständlich auch (gegen [mm] $\infty$) [/mm] divergiert.

Gruß,
Marcel

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Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:15 Mi 12.03.2008
Autor: Marcel

Hallo,

zu a):

Für alle $N [mm] \ge [/mm] 3$ gilt sicherlich

[mm] $\summe_{n=1}^{N} \bruch{(n+1)\wurzel{n}-n\wurzel{n-1}}{n²+n}=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{\sqrt{n}}{n}-\frac{\sqrt{n-1}}{n+1}\right)=\sum_{n=1}^N \frac{\sqrt{n}}{n}-\sum_{n=0}^{N-1}\frac{\sqrt{n}}{n+2}=\sum_{n=1}^{N-1}\sqrt{n}*\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)+\frac{\sqrt{N}}{N}$ [/mm]

Weiter weiß ich gerade auch nicht mehr (es sei denn, ich würde vielleicht auf Fourierreihen etc. ausweichen)...

Edit:
Den (ursprünglichen) Rest bitte vergessen, ich bin etwas mit den Bezeichnungen durcheinandergekommen (habe $n$ und $N$ durcheinandergeworfen). Nichtsdestotrotz sollte man nun versuchen, die Teilsummenfolge rechterhand in den Griff zu bekommen!

Gruß,
Marcel

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