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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 Fr 11.04.2008 | | Autor: | blueeyes |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty}x^{k} [/mm] nicht gleichmäßig auf (-1,1) konvergiert. Tipp: Sei [mm] f_{n}(x):=\summe_{k=0}^{n}x^{k}. [/mm] Betrachten Sie [mm] f(1-\bruch{1}{n+1})-f_{n}(1-\bruch{1}{n+1})). [/mm] |
Soviel weiß ich ja:
$ [mm] (f_n )_n$ [/mm] konvergiert gleichmäßig gegen $ f: X [mm] \rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] , wenn es zu jedem $ [mm] \varepsilon [/mm] > 0$ ein (von $ x$ unabhängiges) $ n [mm] (\varepsilon) \in \mathbb{N}$ [/mm] gibt mit $ [mm] \vert [/mm] f (x) - [mm] f_n [/mm] (x) [mm] \vert [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle $ n [mm] \geq [/mm] n [mm] (\varepsilon)$ [/mm] und alle $ x$ .
wie geht man das nun an,ich versuchs mal:
[mm] $\vert [/mm] f (x) - [mm] f_n [/mm] (x) [mm] \vert [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
[mm] \vert f(1-\bruch{1}{n+1})-f_{n}(1-\bruch{1}{n+1})\vert [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
nur wie mach ich jetzt weiter, was soll das Ziel sein?
nen lieben Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:53 Sa 12.04.2008 | | Autor: | pelzig |
Deine Reihe ist doch nur ne geometrische Reihe, da gibts doch sowohl für den Grenzwert als auch für die Partialsummen schöne geschlossene Formen, warum setzt du die nicht einfach ein?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Sa 12.04.2008 | | Autor: | blueeyes |
Hallo
sei [mm] q\in\IK, [/mm] |q|<1; [mm] \summe_{k=0}^{\infty} q^k= \bruch{1}{1-q} [/mm] heißt ja geometrische Reihe...nur wie soll ich diese denn nur da einsetzen,wie meinst du das genau? Lieben Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Sa 12.04.2008 | | Autor: | pelzig |
Also wir wissen für [mm] $q\in\IC$,[/mm] [mm]|q|<1[/mm] [mm] $$\sum_{k=0}^nq^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\mbox{ sowie }\sum_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q}$$
[/mm]
Nun hast du [mm] $$\left|f\left(1-\frac{1}{n+1}\right)-f_n\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\right|$$also [/mm] setz doch einfach ein:
[mm] $$=\left|\frac{1}{1-\left(1-\frac{1}{n+1}\right)}-\frac{1-\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{1-\left(1-\frac{1}{n+1}\right)}\right|\stackrel{!}{=}\left|(n+1)\cdot\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\right|\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}\infty$$
[/mm]
Nützt dir das evtl. was?
Mir ist halt nicht ganz klar was dieser Ansatz mit deiner Definition von oben zu tun hat, denn eigentlich müssten wir ja [mm] $$|f(x)-f_n(x)| [/mm] betrachten für ein festes $x$...
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