Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:10 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Takeela |
Hallo miteinander.
Ich möchte gerne wissen, ob ich folgendes richtig angewendet habe.
Zu prüfen ist das Konvergenzverhalten der Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{n*(n+10)}}
[/mm]
Sehr zu meinem Erstaunen habe ich festgestellt, dass sie divergent ist. (Richtig?)
Dies habe ich mit Hilfe des Minorantenkriteriums gezeigt. Hierzu habe ein wenig umgeformt: [mm] n^{2}+10n [/mm] < [mm] 2n^{2} [/mm] => [mm] \bruch{1}{\wurzel{n*(n+10)}}> \bruch{1}{\wurzel{2}*n}. [/mm] Da nun aber [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{2}*n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n} [/mm] divergiert, folgt ja, dass auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{n*(n+10)}} [/mm] divergent ist.
Ich bin ein wenig unsicher und würde mich über Korretur sehr freuen!
Danke schön bereits jetzt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:27 Mi 26.11.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo miteinander.
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> Ich möchte gerne wissen, ob ich folgendes richtig
> angewendet habe.
>
> Zu prüfen ist das Konvergenzverhalten der Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{n*(n+10)}}[/mm]
>
> Sehr zu meinem Erstaunen habe ich festgestellt, dass sie
> divergent ist. (Richtig?)
> Dies habe ich mit Hilfe des Minorantenkriteriums gezeigt.
> Hierzu habe ein wenig umgeformt: [mm]n^{2}+10n<2n^{2}[/mm] =>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n*(n+10)}>\bruch{1}{\wurzel{2}*n}. Da nun aber \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{2}*n}}=bruch{1}{\wurzel{2}}\summe_{n=1}^{\infty}bruch{1}{n}[/mm]
> divergiert, folgt ja, dass auch
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{n*(n+10)}}[/mm] divergent
> ist.
>
> Ich bin ein wenig unsicher und würde mich über Korretur
> sehr freuen!
> Danke schön bereits jetzt.
Hallo, deine Formel sieht etwas wüst aus, ein schließendes [ /mm ] hätte vor den weiteren Text gehört.
Deine Idee mit der Abschätzng von n(n+10) durch [mm] 2n^2 [/mm] ist erstmal prinzipiell gut.
Die Abschätzung [mm] n(n+10)<2n^2 [/mm] gilt allerdings erst ab n=11 (was aber auf das Konvergenzverhalten keinen Einfluss hat).
Gruß Abakus
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