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Konvergenz: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:40 Fr 23.01.2009
Autor: Audience

Aufgabe
Es sei das Anfangswertproblem
y'(x) = f(x, y(x))
[mm] y(x_{0}) [/mm] = [mm] y_{0} [/mm]
zu lösen.
Es sei f(x, y) Lipschitz-stetig in y. Betrachten Sie zur numerischen Lösung das modifzierte Eulerverfahren:
[Dateianhang nicht öffentlich]

Bestimmen Sie nun die Konsistenz- bzw Konvergenz dieses Verfahrens.
Hinweis: Ermitteln Sie den lokalen Verfahrensfehler und wenden Sie im Differenzenquotienten auf [mm] y^{(j)} [/mm] und [mm] y^{(j + 1)} [/mm] die Taylorentwicklung in einem geeigneten Punkt an.
Benutzen Sie dann Taylor und die Lipschitzstetigkeit in der Verfahrensfunktion [mm] \Phi_{h} [/mm]

Ich zeige erstmal wie weit ich gekommen bin:

Der Diskretisierungsfehler ist
[mm] \tau_{h}^{(j)} [/mm]       = [mm] \bruch{y(x^{(j + 1)}-y(x^{(j)})}{h} [/mm] - [mm] \Phi_{h} [/mm]
         = [mm] \bruch{y(x^{(j + 1)}-y(x^{(j)})}{h} [/mm] - [mm] f(x^{(j)} [/mm] + [mm] 0.5h^{(j+1)}, y^{(j)} [/mm] + [mm] 0.5h^{(j+1)}f(x^{(j)}, y^{(j)})) [/mm]
         = [mm] y'(x^{(j)}) [/mm] + O(h) - [mm] f(x^{(j)} [/mm] + [mm] 0.5h^{(j+1)}, y^{(j)} [/mm] + [mm] 0.5h^{(j+1)}f(x^{(j)}, y^{(j)})) [/mm] (Taylor verwendet mit Entwicklungstelle (x + h)

Nun komm ich aber nicht weiter. Wie kann ich die Lipschitz-stetigkeit hier verwenden? Wie den Taylor für [mm] \Phi_{h}? [/mm]
Danke für eure Antworten.
Gruß,
Thomas

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Konvergenz: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:21 So 25.01.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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