Konvergenz? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 Di 20.07.2010 | | Autor: | lzaman |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die unendliche Reihe auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\vektor{3n \\ 2n}\bruch{1}{8^n} [/mm] |
Hallo, ich würde gerne wissen wie ich hier vorgehen muss?
Erstmal löse ich den Koeffizienten auf
[mm] \vektor{3n \\ 2n}=\bruch{3n!}{2n!(3-2)!} [/mm]
und da ich meine gelernt zu haben bei Fakultäten immer das Quotientenkriterium anwenden zu sollen, will ich es auch hier tun.
Also wie mache ich nun weiter?
Kann ich das Kriterium jetzt schon anwenden oder muss ich noch etwas beachten?
Komme nun zu dieser Summe:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{3n!}{2n!(3-2)!}\bruch{1}{8^n} [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:29 Di 20.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie die unendliche Reihe auf Konvergenz:
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> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{3n \\ 2n}\bruch{1}{8^n}[/mm]
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> Hallo, ich würde gerne wissen wie ich hier vorgehen muss?
>
> Erstmal löse ich den Koeffizienten auf
>
> [mm]\vektor{3n \\ 2n}=\bruch{3n!}{2n!(3-2)!}[/mm]
Das stimmt nicht ganz. Es ist [mm]\vektor{3n \\ 2n}=\bruch{3n!}{2n!(3n-2n)!}= \bruch{3n!}{2n!*n!}[/mm]
Setze [mm] a_n= \bruch{3n!}{2n!*n!}* \bruch{1}{8^n} [/mm] und schau Dir den Quotienten
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}
[/mm]
an. Da kannst Du viel kürzen
FRED
>
> und da ich meine gelernt zu haben bei Fakultäten immer das
> Quotientenkriterium anwenden zu sollen, will ich es auch
> hier tun.
>
> Also wie mache ich nun weiter?
> Kann ich das Kriterium jetzt schon anwenden oder muss ich
> noch etwas beachten?
>
> Komme nun zu dieser Summe:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{3n!}{2n!(3-2)!}\bruch{1}{8^n}[/mm]
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Hallo zusammen,
> > Untersuchen Sie die unendliche Reihe auf Konvergenz:
> >
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{3n \\ 2n}\bruch{1}{8^n}[/mm]
> >
> > Hallo, ich würde gerne wissen wie ich hier vorgehen muss?
> >
> > Erstmal löse ich den Koeffizienten auf
> >
> > [mm]\vektor{3n \\ 2n}=\bruch{3n!}{2n!(3-2)!}[/mm]
>
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> Das stimmt nicht ganz. Es ist [mm]\vektor{3n \\ 2n}=\bruch{3n!}{2n!(3n-2n)!}= \bruch{3n!}{2n!*n!}[/mm]
Ihr habt beide schön hübsch wichtige Klammern unterschlagen!
Eher [mm] $\frac{\red{(}3n\red{)}!}{\red{(}2n\red{)}!\cdot{}n!}$
[/mm]
>
> Setze [mm]a_n= \bruch{3n!}{2n!*n!}* \bruch{1}{8^n}[/mm] und schau
> Dir den Quotienten
>
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm]
>
> an. Da kannst Du viel kürzen
>
>
> FRED
> >
> > und da ich meine gelernt zu haben bei Fakultäten immer das
> > Quotientenkriterium anwenden zu sollen, will ich es auch
> > hier tun.
> >
> > Also wie mache ich nun weiter?
> > Kann ich das Kriterium jetzt schon anwenden oder muss ich
> > noch etwas beachten?
> >
> > Komme nun zu dieser Summe:
> >
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{3n!}{2n!(3-2)!}\bruch{1}{8^n}[/mm]
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:50 Di 20.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
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> > > Untersuchen Sie die unendliche Reihe auf Konvergenz:
> > >
> > > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{3n \\ 2n}\bruch{1}{8^n}[/mm]
> >
> >
> > > Hallo, ich würde gerne wissen wie ich hier vorgehen muss?
> > >
> > > Erstmal löse ich den Koeffizienten auf
> > >
> > > [mm]\vektor{3n \\ 2n}=\bruch{3n!}{2n!(3-2)!}[/mm]
> >
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> > Das stimmt nicht ganz. Es ist [mm]\vektor{3n \\ 2n}=\bruch{3n!}{2n!(3n-2n)!}= \bruch{3n!}{2n!*n!}[/mm]
>
> Ihr habt beide schön hübsch wichtige Klammern
> unterschlagen!
>
> Eher [mm]\frac{\red{(}3n\red{)}!}{\red{(}2n\red{)}!\cdot{}n!}[/mm]
Au Backe, danke für die Korrektur
FRED
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> >
> > Setze [mm]a_n= \bruch{3n!}{2n!*n!}* \bruch{1}{8^n}[/mm] und schau
> > Dir den Quotienten
> >
> > [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm]
> >
> > an. Da kannst Du viel kürzen
> >
> >
> > FRED
> > >
> > > und da ich meine gelernt zu haben bei Fakultäten immer das
> > > Quotientenkriterium anwenden zu sollen, will ich es auch
> > > hier tun.
> > >
> > > Also wie mache ich nun weiter?
> > > Kann ich das Kriterium jetzt schon anwenden oder muss ich
> > > noch etwas beachten?
> > >
> > > Komme nun zu dieser Summe:
> > >
> > > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{3n!}{2n!(3-2)!}\bruch{1}{8^n}[/mm]
> >
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>
> LG
>
> schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Di 20.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Was ist denn [mm] a_{n+1} [/mm] bei [mm] a_n= \bruch{3n!}{2n!\cdot{}n!}\cdot{} \bruch{1}{8^n}
[/mm]
Das habe ich noch nicht so ganz verstanden....
Muss ich das jetzt etwa so schreiben:
[mm] a_{n+1}= \bruch{(3n+3)!}{(2n+2)!\cdot{}(n+1)!}\cdot{} \bruch{1}{8^n}
[/mm]
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Hallo Izaman,
> Was ist denn [mm]a_{n+1}[/mm] bei [mm]a_n= \bruch{3n!}{2n!\cdot{}n!}\cdot{} \bruch{1}{8^n}[/mm]
Achtung, denke an die Klammern, siehe Mitteilung oben.
Na, in [mm] $a_{n+1}$ [/mm] ersetze alle $n$ durch $n+1$
Also ist mit [mm] $a_n=\frac{(3n)!}{(2n)!\cdot{}n!}\cdot{}\frac{1}{8^n}$ [/mm] dann [mm] $a_{n+1}=\ldots$
[/mm]
>
> Das habe ich noch nicht so ganz verstanden....
>
> Muss ich das jetzt etwa so schreiben:
>
> [mm]a_{n+1}= \bruch{(3n+3)!}{(2n+2)!\cdot{}(n+1)!}\cdot{} \bruch{1}{8^{n\red{+1}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ja, aber $8^{n+1$ !!
Nun den Quotienten bilden und schauen, was der für $n\to\infty$ treibt
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 Di 20.07.2010 | | Autor: | lzaman |
> Na, in [mm]a_{n+1}[/mm] ersetze alle [mm]n[/mm] durch [mm]n+1[/mm]
>
> Also ist mit
> [mm]a_n=\frac{(3n)!}{(2n)!\cdot{}n!}\cdot{}\frac{1}{8^n}[/mm] dann
> > [mm]a_{n+1}= \bruch{(3n+3)!}{(2n+2)!\cdot{}(n+1)!}\cdot{} \bruch{1}{8^{n\red{+1}}[/mm]
>
> Nun den Quotienten bilden und schauen, was der für
> [mm]n\to\infty[/mm] treibt
>
> Gruß
>
> schachuzipus
Danke erstmal, nun mache ich weiter.....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 Di 20.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Mit [mm] a_n=\frac{(3n)!}{(2n)!\cdot{}n!}\cdot{}\frac{1}{8^n} [/mm] und [mm] a_{n+1}= \bruch{(3n+3)!}{(2n+2)!\cdot{}(n+1)!}\cdot{} \bruch{1}{8^{n+1}}
[/mm]
ist [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}=\bruch{(3n+3)!}{(2n+2)!\cdot{}(n+1)!}\cdot{} \bruch{1}{8^{n}\cdot8}\cdot\bruch{8^n\cdot{}n!\cdot(2n)!}{(3n)!}=\bruch{(3n+1)(3n+2)(3n+3)}{(2n+1)(2n+2)(n+1)\cdot8}
[/mm]
Muss ich jetzt alle Klammern ausmultiplizieren und dann noch kürzen? Oder kann man sich für diesen Ausdruck einen Blick aneignen?
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Hallo lzaman!
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}=\bruch{(3n+3)!}{(2n+2)!\cdot{}(n+1)!}\cdot{} \bruch{1}{8^{n}\cdot8}\cdot\bruch{8^n\cdot{}n!\cdot(2n)!}{(3n)!}=\bruch{(3n+1)*(3n+2)*(3n+3)}{(2n+1)*(2n+2)*(n+1)\cdot8}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Klammere in Zähler und Nenner aus jeder Klammer $n_$ aus und kürze.
Anschließend die Grenzwertbetrachtung für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] durchführen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Di 20.07.2010 | | Autor: | lzaman |
[mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}=\bruch{(3n+3)!}{(2n+2)!\cdot{}(n+1)!}\cdot{} \bruch{1}{8^{n}\cdot8}\cdot\bruch{8^n\cdot{}n!\cdot(2n)!}{(3n)!}=\bruch{(3n+1)(3n+2)(3n+3)}{(2n+1)(2n+2)(n+1)\cdot8}[/mm]
[mm] \Rightarrow\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n(3+\bruch{1}{n})n(3+\bruch{2}{n})n(3+\bruch{3}{n})}{n(2+\bruch{1}{n})n(2+\bruch{2}{n})n(1+\bruch{1}{n})\cdot8}=\bruch{9}{40} [/mm] ?
Die Reihe konvergiert wegen [mm] \bruch{9}{40}<1. [/mm] Quotientenkriterium erfüllt!
Habe ich noch einen Rechenfehler drin? Wäre super nett, wenn ihr das noch prüfen könntet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 Di 20.07.2010 | | Autor: | fred97 |
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> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}=\bruch{(3n+3)!}{(2n+2)!\cdot{}(n+1)!}\cdot{} \bruch{1}{8^{n}\cdot8}\cdot\bruch{8^n\cdot{}n!\cdot(2n)!}{(3n)!}=\bruch{(3n+1)(3n+2)(3n+3)}{(2n+1)(2n+2)(n+1)\cdot8}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n(3+\bruch{1}{n})n(3+\bruch{2}{n})n(3+\bruch{3}{n})}{n(2+\bruch{1}{n})n(2+\bruch{2}{n})n(1+\bruch{1}{n})\cdot8}=\bruch{9}{40}[/mm]
Es ist
[mm] \bruch{3*3*3}{2*2*1*8}= \bruch{27}{32} [/mm] !!!!!
FRED
> ?
>
> Die Reihe konvergiert wegen [mm]\bruch{9}{40}<1.[/mm]
> Quotientenkriterium erfüllt!
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> Habe ich noch einen Rechenfehler drin? Wäre super nett,
> wenn ihr das noch prüfen könntet.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Di 20.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Entschuldigung für den Rechenfehler.
Oh dann konvergiert diese Reihe nicht. Die unendliche Reihe ist also divergent. Stimmts? oder muss ich jetzt noch andere Kriterien anwenden?
Will diese Aufgabe endlich abschliessen...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Di 20.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Entschuldigung für den Rechenfehler.
>
> Oh dann konvergiert diese Reihe nicht.
Mann, mann, mann. Ist denn [mm] \bruch{27}{32}<1 [/mm] oder > 1 ???????????????
> Die unendliche Reihe
> ist also divergent. Stimmts?
Nein
> oder muss ich jetzt noch
> andere Kriterien anwenden?
Nein
>
> Will diese Aufgabe endlich abschliessen..
Tus doch
FRED.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:17 Di 20.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Danke, ich sollte mal etwas essen, dann funktioniert auch der Kopf wieder.
Abschluss:
Die Reihe ist konvergent. Quotientenkriterium erfüllt!
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