Konvergenz? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Mo 26.07.2010 | | Autor: | lzaman |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=2}^{\infty}\left(\bruch{2}{(1+\bruch{1}{n})^n}\right)^n [/mm] |
Hi, ich komme hier nicht weiter mit dem Wurzelkriterium.
Habe nun [mm] \bruch{2}{(1+\bruch{1}{n})^n} [/mm] stehen. Wie mache ich weiter?
Gruß Lzaman
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ist $\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}<1$ so konvergiert die Reihe absolut.
Fällt dir eigentlich etwas bei $\lim_{n\to\infty}(1+\bruch{1}{n})^n} $ auf?!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Mo 26.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Ja, es ist [mm] \lim_{n\to\infty}(1+\bruch{1}{n})^n=e
[/mm]
aber komme trotzdem nicht weiter trotz dieser Überlegung. Oder reicht es nun zu sagen [mm] \bruch{2}{e}<1 [/mm] und somit das Wurzelkriterium erfüllt ist?
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Hallo Izaman,
ich möchte auf eine Alternative zum WK hinweisen:
Du kannst die Reihe als geometrische Reihe auffassen:
[mm] $\sum q^n$, [/mm] die für $|q|<1$ konvergiert.
Nun ist [mm] $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n>2$ [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] 2$ (binom. Lehrsatz - einfach abschätzen)
Also [mm] $\frac{2}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}<1$
[/mm]
Also liegt Konvergenz vor.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:30 Mo 26.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Danke für beide Voschläge, habe aber mit dem Abschätzen so meine Probleme, deswegen bevorzuge ich die mathematische Lösung...
Gruß lzaman
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:19 Mo 26.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke für beide Voschläge, habe aber mit dem Abschätzen
> so meine Probleme, deswegen bevorzuge ich die mathematische
> Lösung...
Ist den Abschätzen keine mathematische Vorgehensweise ??? Aber hallo, natürlich ! Ohne Abschätzen gäbe es keine Mathematik
FRED
>
> Gruß lzaman
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:38 Di 27.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hi Fred,
> Vielleicht finden wir noch ein paar Mitheuler. Je mehr,
> desto kleiner das Leid
darauf hoffe ich auch. ^^
Besten Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:55 Di 27.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Ich werde politisch, und nehme alles zurück, bevor noch einige an Ihrem Können zweifeln. Wahrscheinlich habe ich mich falsch ausgedrückt. Es ist doch so, dass du selber vom abschätzen gesprochen hattest und bei der anderen Lösung halt nicht. Natürlich ist Mathematik schätzen, aber auch viel fundamentales Wissen.
Seid nicht so streng mit mir...
LG Lzaman
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:08 Di 27.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich werde politisch, und nehme alles zurück, bevor noch
> einige an Ihrem Können zweifeln.
ich bin erleichtert (Marcel sicher auch)
> Wahrscheinlich habe ich
> mich falsch ausgedrückt. Es ist doch so, dass du selber
> vom abschätzen gesprochen hattest und bei der anderen
> Lösung halt nicht.
na ja, Du isst ja auch nicht jeden Tag das gleiche, einmal Schnitzel, morgen Grünkohl, oder was vom Pizzamann....
Eben was gerade angesagt ist. So ist es auch in der Mathematik: je nach Situation eine andere Lösungsstrategie.
> Natürlich ist Mathematik schätzen,
> aber auch viel fundamentales Wissen.
so ists
>
> Seid nicht so streng mit mir...
sind wir gar nicht, aber ein bißchen Spaß muß sein (Roberto Blanco)
Gruß FRED
>
> LG Lzaman
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:16 Di 27.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> > Ich werde politisch, und nehme alles zurück, bevor noch
> > einige an Ihrem Können zweifeln.
>
>
> ich bin erleichtert (Marcel sicher auch)
endlich macht das Leben wieder Sinn ^^ 
Besten Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:30 Mo 26.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Izaman,
>
> ich möchte auf eine Alternative zum WK hinweisen:
>
> Du kannst die Reihe als geometrische Reihe auffassen:
Hallo schachuzipus,
wenn Du diese Reihe meinst:
$ [mm] \summe_{n=2}^{\infty}\left(\bruch{2}{(1+\bruch{1}{n})^n}\right)^n [/mm] $
so muß ich widersprechen ! Die kann man nicht als geometrische Reihe auffassen.
In der geom. Reihe [mm]\sum q^n[/mm] ist das q konstant und hängt nicht auch noch von n ab.
Gruß FRED
>
> [mm]\sum q^n[/mm], die für [mm]|q|<1[/mm] konvergiert.
>
> Nun ist [mm]\left(1+\frac{1}{n}\right)^n>2[/mm] für alle [mm]n\ge 2[/mm]
> (binom. Lehrsatz - einfach abschätzen)
>
> Also [mm]\frac{2}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}<1[/mm]
>
> Also liegt Konvergenz vor.
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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Hallo Fred,
da hast du natürlich recht, das muss ja konstant<1 sein ..
Ich Depp.
Aber ne Idee zur Rettung:
Es ist [mm] $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\ge \frac{9}{4}$ [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] 2$
Also [mm] $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\left(\frac{2}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\right)^n [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \sum\limits_{n=2}^{\infty}\left(\frac{2}{\frac{9}{4}}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \sum\limits_{n=2}^{\infty}\left(\frac{8}{9}\right)^n$
[/mm]
Also doch konvergent gem. Majorantenkrit.
Gruß und danke fürs Aufpassen!
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:15 Mo 26.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> da hast du natürlich recht, das muss ja konstant<1 sein
> ..
>
> Ich Depp.
Na,na, geh nicht so hart mit Dir zu Gericht
Gruß FRED
>
> Aber ne Idee zur Rettung:
>
> Es ist [mm]\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\ge \frac{9}{4}[/mm] für
> alle [mm]n\ge 2[/mm]
>
> Also
> [mm]\sum\limits_{n=2}^{\infty}\left(\frac{2}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\right)^n \ \le \ \sum\limits_{n=2}^{\infty}\left(\frac{2}{\frac{9}{4}}\right)^n \ = \ \sum\limits_{n=2}^{\infty}\left(\frac{8}{9}\right)^n[/mm]
>
> Also doch konvergent gem. Majorantenkrit.
>
> Gruß und danke fürs Aufpassen!
>
> schachuzipus
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