Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:17 Mo 30.08.2010 | | Autor: | Dante19 |
| Aufgabe | [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{5n+1}{n^{4}+1}
[/mm]
Ich soll die Reihe auf Konvergenz untersuchen |
Ich weiß das die Reihe einen gw bei null hat, aber ich weiß nicht um was für ein Kriterium es sich bei der Reihe handelt.
Damit habe ich leider so meine Schwierigkeiten
Danke im Vorraus
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Huhu,
schätz den Nenner mal nach unten ab, das geht hier recht einfach und schon hast du eine Majorante 
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:51 Mo 30.08.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
neben Gonozal_IXs Antwort (die selbstverständlich absolut korrekt ist):
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{5n+1}{n^{4}+1}[/mm]
>
> Ich soll die Reihe auf Konvergenz untersuchen
> Ich weiß das die Reihe einen gw bei null hat, aber ich
> weiß nicht um was für ein Kriterium es sich bei der Reihe
> handelt.
Du wirfst da einfach irgendwelche Begriffe durcheinander. Ich denke, dass Du uns mitteilen willst, dass Du siehst, dass oben die Folge der Summanden eine Nullfolge ist, d.h.
[mm] $$\bruch{5n+1}{n^{4}+1} \to [/mm] 0 [mm] \;\;(n \to \infty)\,.$$
[/mm]
Leider ist das nur ein notwendiges Kriterium für die Konvergenz, kein hinreichendes. D.h., wenn Du sehen würdest, dass diese Folge keine Nullfolge ist, so dürftest Du auf Divergenz der Reihe schließen. Hier kannst Du jetzt nun nur sagen:
"Naja, es ist jedenfalls nicht offensichtlich, dass die Reihe divergiert... Sie kann divergieren, sie kann aber auch konvergieren."
Weil Dir öfters mal "Reihen dieser Bauart" begegnen werden - und man meist Quotienten-, Wurzel- und Majorantenkriterium bis zum erbrechen übt - man aber ein schönes Kriterium hier anwenden kann, dass Dir hilft, "die Konvergenz oder Divergenz einer Reihe solcher Bauart schnell zu erkennen", will ich Dir das nicht verheimlichen (auch, wenn man dann evtl. wieder auf spezielle Ergebnisse, die auf dem Cauchyschen Verdichtungssatz bzw. dem Majoranten bzw. dem Wurzelkriterium beruhen, meist wieder zurückgreift):
Es gibt eine Art "Vergleichskriterium", dass besagt, dass man unter gewissen Voraussetzungen erkennen kann, ob eine Reihe konvergiert oder nicht, wenn man sich anschaut, "wie schnell die Summandenfolge gegen [mm] $0\,$ [/mm] konvergiert". (Wenn sie nicht gegen 0 konvergiert, ist die Reihe eh divergent; also ist das ein "interessantes" Kriterium, wobei man dabei auch beachten sollte, dass da in den Voraussetzungen etwas von "alle (bzw. alle bis auf endlich viele) Summanden seien positiv" steht.)
Genauer:
Satz 33.6 in Heuser, vgl. hier.
Hier z.B.:
Wegen
[mm] $$\frac{5n+1}{n^4+1} [/mm] / [mm] \frac{1}{n^3}=\frac{5n^4+n^3}{n^4+1}=\frac{5+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n^4}} \to [/mm] 5 > 0$$
hat Deine Reihe das gleiche Konvergenzverhalten wie [mm] $\sum \frac{1}{n^3}\,,$ [/mm] und letzte konvergiert z.B. nach dem Cauchyschen Verdichtungssatz (bzw. generell sollte man auch mal lernen oder gelernt haben, dass [mm] $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ [/mm] genau dann konvergiert, wenn (reelles) [mm] $\alpha [/mm] > 1$ ist).
P.S.:
Oben geht es übrigens nur darum, ob die vorgegebene Reihe konvergiert - und wir sehen, dass sie das tut. Den Grenzwert anzugeben bzw. zu berechnen ist meistens alles andere als einfach - es ist sogar manchmal eine "Kunst" (wo man entweder Sätze aus der Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie oder der Funktionentheorie oder oder oder... benutzt).
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:26 Di 31.08.2010 | | Autor: | Dante19 |
hi danke bis dahin, aber meine eigentliche Frage lautete wie kann ich die Konvergenzkriterien einer Reihe rausbekommen
Ich weiß das es sich bei der Reihe um ein Majorantenkriterium handelt
Also soviel weiß ich, wenn es sich um ein Majorantnekriterium handeln soll
1) bn ist als konvergent bekannt
2)an [mm] \le [/mm] bn
aber bei mir ist bn immer kleiner als an ich weiß nicht woran das liegt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:12 Di 31.08.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Formulierungen wie "Die Reihe hat das und das Konvergenzkriterium" sind etwas irreführend. Richtig ist, wenn man fragt, welches Konvergenzkriterium man auf die gegebene Reihe anwenden kann. Man kann viele für eine Reihe nehmen, aber manchmal liefern nur wenige ein brauchbares Ergebnis.
Das was Marcel geschrieben hat, war ein gut gemeinter und sehr hilfreicher Hinweis. Denn man solltest zuerst immer schauen, ob man nun zeigen will, ob die Reihe konvergiert, oder ob die divergiert. Bei deiner Reihe erkennt man: Sie konvergiert (vgl. Marcels Ausführung).
Nun der Tipp von Gonozal (und das, was du ja auch schon machen wolltest): das Majorantenkriterium. Damit kannst du nur Konvergenz zeigen. Wäre deine Reihe divergent, so würde das Majorantenkriterium hier keinen Sinn machen (wohl aber das Minorantenkriterium, mit dem man nur Divergenz zeigen kann).
Das Majorantenkriterium sagt ja, nochmal etwas ausführlicher aufgeschrieben:
Hast du eine Reihe [mm] \summe a_n [/mm] gegeben, wobei [mm] |a_n|\le b_n [/mm] (ab einem [mm] n_0 \in \IN [/mm] ) gilt und ist konvergiert [mm] \summe b_n, [/mm] so ist [mm] \summ a_n [/mm] (sogar absolut) konvergent. Also kannst du versuchen, so ein [mm] b_n [/mm] zu finden.
Dazu kannst du z.B. mit deiner Ausgangsfolge, die hinter dem Summenzeichen steht, anfangen und diese schrittweise größer machen.
[mm] a_n=\bruch{5n+1}{n^{4}+1}<\bruch{5n+1}{n^{4}}\le\bruch{5n+n}{n^{4}}=\bruch{6n}{n^{4}}=\bruch{6}{n^3}=:b_n [/mm] für alle [mm] n\ge1
[/mm]
Perfekt, schon wurde mit [mm] \summe b_n=\summe\bruch{6}{n^3} [/mm] eine konvergente Majorante gefunden (dass diese konvergiert, habt ihr sicher schon gezeigt).
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 04:30 Mi 01.09.2010 | | Autor: | Dante19 |
Also um das Konvergenzverhalten einer Reihe rauszubekommen muss ich einfach dafür sorgen, das die n im Nenner und Zähler gleich hoch sind
Bsp.: [mm] \bruch{5n+1}{n^{4}+1} [/mm] / [mm] \bruch{1}{n^{3}} [/mm] = 5
mit [mm] \bruch{1}{n^{3}} [/mm] bekomme ich das Konvergenzverhalten, gilt die Regel für alle Folgen oder nur bei dem Majorantenkriterium
Bsp.: die Reihe [mm] \summe_{k=5}^{\infty} \bruch{k+2}{k^{2}-4}
[/mm]
muss ich da auch die Reihe / [mm] \bruch{1}{k} [/mm] nehmen um das Konvergenzverhalten rauszubekommen oder muss ich was anderes machen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:43 Mi 01.09.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Das kannst du gerne da auch so machen wie vorher.Durch [mm] \bruch{1}{n} [/mm] teilen, die Folge strebt gegen 1 und weil [mm] \summe\bruch{1}{n} [/mm] divergiert, tut es [mm] \summe\bruch{k+2}{k^2-4}.
[/mm]
Ein anderer Ansatz wäre hier auch das Minorantenkriterium.
Aber am allerschnellsten geht es (ohne irgendwelche Kriterien, Abschätzungen, ...), wenn du einfach bedenkst, dass [mm] \bruch{k+2}{k^2-4}=\bruch{k+2}{(k+2)(k-2)}=\bruch{1}{k-2} [/mm] ist. Und [mm] \summe\bruch{1}{k-2} [/mm] divergiert ja offenbar.
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Fr 03.09.2010 | | Autor: | Dante19 |
Hi,
ich habe eine abschließende Frage zu der Aufgabe
Die Methoden von Marcel und von Teufel, um das Konvergenzverhalten rauszubekommen funktionieren nur beim
Majoranten- bzw. Minorantenkriterium oder kann ich damit auch das Konvergenzverhalten einer Folge rausbekommen bei der weder Majoranten- bzw. Minorantenkriterium funktioniert.
Bsp.: [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^{k}}
[/mm]
ich weiß das ich hier das Wurzelkriterium einsetzen muss, aber kann ich vorher eine der Methoden hier anwenden um die Konvergenzverhalten zu erhalten oder hat das Wurzelkriterium eine eigene Methode
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Fr 03.09.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Für [mm] \sum\frac{1}{k^k} [/mm] kannst du die Majorante [mm] \sum\frac{1}{k^2} [/mm] nehmen. Allerdings würde ich hier auch das Wurzelkriterium anwenden, bietet sich halt an, wenn da ein ganzer Term hoch k steht.
Aber nochmal zum Verständnis: Mit all diesen Kriterien kann man halt Konvergenz oder Divergenz zeigen. Wurzelkriterium und auch Majorantenkriterium haben das gleiche Ziel. Egal welche Reihe du hast, ein bestimmtes Kriterium einsetzen MÜSSEN tust du nie. Du hast immer die freie Wahl. Nur manche Kriterien liefern halt ein brauchbares Ergebnis und andere nicht bei bestimmten Reihen. In deiner Beispielreihe liefern z.B. Wurzel- und Majorantenkriterium ein brauchbares Ergebnis.
Teufel
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