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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:59 Mi 01.12.2010 | | Autor: | wieschoo |
| Aufgabe | [mm](X_n)_{n\in\IN}[/mm] Folge unabhängiger Zufallsvariablen auf W-Raum [mm](\Omega,\mathcal{A},P)[/mm]
mit [mm]P(X_n = 1) = 1 [/mm]−[mm] P(X_n = 0) = 1/n[/mm].
Zeigen Sie,
a) dass die Folge [mm](X_n)_{n\in\IN}[/mm] P-stochastisch gegen 0,
b) aber nicht P-fast sichergegen 0 konvergiert! |
Gut dann ersteinmal die Definition:
[mm](X_n)_{n\in\IN}\to X[/mm] p -stochastisch [mm]:\gdw \;\forall \varepsilon > 0 : P(\{\omega : |X_n(\omega)-X(\omega)|>\varepsilon\})=0[/mm]
fast-sichere-konvergenz:
[mm] P\left(\lim_{n\to\infty} X_n = X\right) = P\left(\left\{\omega\in\Omega\,\left|\,\lim_{n\to\infty} X_n(\omega) = X(\omega)\right.\right\}\right)=1 [/mm]
zu a)
Ich habe doch nur zu zeigen, dass
[mm]\forall \varepsilon > 0 : P(\{\omega : |X_n(\omega)|>\varepsilon\})=0[/mm]. Gilt laut Aufgabe, dass [mm] $X_n$ [/mm] nur die Werte [mm] $1,\frac{1}{n}$ [/mm] annimmt?
Wie zeige ich es jetzt?
b) Wenn ich den limes bilde erhalte ich ja zwei Grenzwerte [mm] $\lim \frac{1}{n}$ [/mm] und [mm] $\lim 1-\frac{1}{n}$
[/mm]
Als Tipp bekamen wir das Lemma von Borel-Candeli (als bekannt vorausgesetzt)
Wäre klasse, wenn mir einen einen Hink mit dem Zaunpfahl gäbe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:35 Do 02.12.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo wieschoo  ,
> [mm](X_n)_{n\in\IN}[/mm] Folge unabhängiger Zufallsvariablen auf
> W-Raum [mm](\Omega,\mathcal{A},P)[/mm]
> mit [mm]P(X_n = 1) = 1 [/mm]−[mm] P(X_n = 0) = 1/n[/mm].
> Zeigen Sie,
> a) dass die Folge [mm](X_n)_{n\in\IN}[/mm] P-stochastisch gegen 0,
> b) aber nicht P-fast sichergegen 0 konvergiert!
>
> Gut dann ersteinmal die Definition:
>
> [mm](X_n)_{n\in\IN}\to X[/mm] p -stochastisch [mm]:\gdw \;\forall \varepsilon > 0 : P(\{\omega : |X_n(\omega)-X(\omega)|>\varepsilon\})=0[/mm]
Hier fehlt doch noch ein Limes, oder? Also:
[mm](X_n)_{n\in\IN}\to X[/mm] p -stochastisch [mm]:\gdw \;\forall \varepsilon > 0 : \red{\limes_{n\to\infty}} P(\{\omega : |X_n(\omega)-X(\omega)|>\varepsilon\})=0[/mm]
>
> fast-sichere-konvergenz:
> [mm]P\left(\lim_{n\to\infty} X_n = X\right) = P\left(\left\{\omega\in\Omega\,\left|\,\lim_{n\to\infty} X_n(\omega) = X(\omega)\right.\right\}\right)=1[/mm]
>
> zu a)
> Ich habe doch nur zu zeigen, dass
> [mm]\forall \varepsilon > 0 : P(\{\omega : |X_n(\omega)|>\varepsilon\})=0[/mm].
> Gilt laut Aufgabe, dass [mm]X_n[/mm] nur die Werte [mm]1,\frac{1}{n}[/mm]
> annimmt?
1. Wieso [mm] $\frac1n$? [/mm] Wenn, dann schon die Werte 1 und 0 (der Bruch $1/n$ ist die W'keit, dass [mm] $X_n=1$)
[/mm]
2. Die ZV [mm] $X_n$ [/mm] können natürlich noch weitere Werte annehmen, allerdings nur mit W'keit 0, denn es gilt doch bereits
[mm] $P(X_n=1)+P(X_n=0)=1$ [/mm] (siehe Aufgabenstellung).
Man kann also sagen, dass [mm] $X_n$ [/mm] (P-) fast sicher die Werte 0 und 1 annimmt.
> Wie zeige ich es jetzt?
Einfach ausrechnen 
Es sei [mm] $\varepsilon>0$.
[/mm]
Dann gilt doch für [mm] $X(\omega)=0$
[/mm]
[mm] $\limes_{n\to\infty} P(\{\omega : |X_n(\omega)-X(\omega)|>\varepsilon\})$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n\to\infty} P(\{\omega : |X_n(\omega)-0(\omega)|>\varepsilon\})$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n\to\infty} P(\{\omega : |X_n(\omega)|>\varepsilon\})$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n\to\infty} P(\{\omega : X_n(\omega)=1\}\cup\{\omega : X_n(\omega)\not\in\{0,1\}\})$
[/mm]
Bei der zweiten Menge handelt es sich um eine Nullmenge (s.o.), daher:
[mm] $=\limes_{n\to\infty} P(X_n=1)$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n\to\infty} [/mm] 1/n$
$=0$, was zu zeigen war.
> b) Wenn ich den limes bilde erhalte ich ja zwei Grenzwerte
> [mm]\lim \frac{1}{n}[/mm] und [mm]\lim 1-\frac{1}{n}[/mm]
Das sehe ich nicht bzw. das sind höchstens die stochastischen Limiten (s.o.)
> Als Tipp bekamen
> wir das Lemma von Borel-Candeli (als bekannt
> vorausgesetzt)
Ich nehme an, das Lemma von Borel-Cantelli ist gemeint.
> Wäre klasse, wenn mir einen einen Hink mit dem Zaunpfahl
> gäbe.
Ich weiß jetzt nicht, in welcher Form ihr dieses Lemma formuliert habt, daher hier die Schreibweise von Bauer, W'theorie:
Definiere dir [mm] $A_n:=\{|X_n|>\varepsilon\}$. [/mm] Die [mm] $A_n$ [/mm] sind unabhängig und damit paarweise unabhängig.
Außerdem gilt ja [mm] $P(A_n)=1/n$ [/mm] und damit [mm] $\summe_{n=1}^\infty P(A_n)=+\infty$ [/mm] (harmonische Reihe).
Jetzt Borel-Cantelli anwenden und fast sichere Konvergenz widerlegen.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:15 Do 02.12.2010 | | Autor: | wieschoo |
Ersteinmal danke für die Antwort. Falls ich irgendetwas nicht einsehe melde ich mich nocheinmal.
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