Konvergenz? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Überprüfe auf Konvergenz
[mm]\sum_{n=1}^{\infty} (1+\frac{1}{\sqrt n})^{-n^{3/2}}[/mm] |
Hallo!
Vielleicht kann mir jemand sagen, wie man an eine solche Reihe herangeht....war heute eine Klausuraufgabe, und ich bin mit der Potenz im Exponenten leider auf keinen grünen Zweig gekommen. Vielen Dank und liebe Grüße!
couldbeworse
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 Fr 18.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
erstmal untersuchen ob die einzelnen Summanden eine Nullfolge bilden!
Falls nein bist du fertig.
dann erst nach weiteren Konvergenzkriterien suchen, mit Majoranten oder Minorantenkriteriem je nachdem was du vermutest
hier würd ich das noch besser mit pos exponenten schreiben also die summanden als [mm] (\bruch{\wurzel{n}}{1+\wurzel{n}})^{n^{1.5}}
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo leduart,
> erstmal untersuchen ob die einzelnen Summanden eine
> Nullfolge bilden!
Also ich würde sagen, daß [mm](\bruch{\wurzel{n}}{1+\wurzel{n}})^{n^{1.5}}[/mm] bildet, allerdings wüßte ich jetzt nicht, wie ich es zeigen könnte, weil ich eben mit der Potenz im Exponenten nichts anfangen kann. Ich kan mir die Reihe nicht "vorstellen", weiß also auch nicht in welche Richtung ich abschätzen sollte. Mit Quotienten - oder Wurzelkriterium wird es wohl nicht funktionieren, oder?
Gruß couldbeworse
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Fr 18.02.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo leduart,
>
> > erstmal untersuchen ob die einzelnen Summanden eine
> > Nullfolge bilden!
>
> Also ich würde sagen, daß
> [mm](\bruch{\wurzel{n}}{1+\wurzel{n}})^{n^{1.5}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
bildet,
> allerdings wüßte ich jetzt nicht, wie ich es zeigen
> könnte, weil ich eben mit der Potenz im Exponenten nichts
> anfangen kann. Ich kan mir die Reihe nicht "vorstellen",
> weiß also auch nicht in welche Richtung ich abschätzen
> sollte. Mit Quotienten - oder Wurzelkriterium wird es wohl
> nicht funktionieren, oder?
natürlich kannst Du das Wurzelkriterium (hier eigentlich das "naheliegendste"; mit genug Übung wirst Du das in Zukunft selbst erkennen!) anwenden (und dann brauchst Du vorher nicht zu gucken, ob da eine Nullfolge vorliegt, es sei denn, Du erhälst mit dem Wurzelkriterium die Aussage, dass Du keine Aussage über das Konvergenzverhalten der Reihe treffen kannst (also der entsprechende Limsup wäre dann $=1\,$)):
Tipp:
Wogegen strebt denn
$$\sqrt[n]{\left|\frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{n}}\right|^{n^{1.5}}}=\left|\frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{n}}\right|^{n^{1.5}/n}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{\sqrt{n}}$$
bei $n \to \infty$?
(Beachte: $(1+\;1/x)^x \to e > 1$ bei $x \to \infty\,.$)
P.S.:
Leduarts Hinweis ist schon okay. Ein Blick drauf, ob bei einer vorliegenden Reihe die Summandenfolge auch gegen $0\,$ konvergiert, kann einem oft ersparen, sich weitere Gedanken zu machen. Denn WENN KEINE Nullfolge vorliegt, dann braucht man keine weiteren Gedanken zu verschwenden. Dann weiß man, dass die vorliegende Reihe divergiert.
Oben ist's nun so, dass man etwas mit dem Wurzelkriterium erkennt, dass die Reihe konvergiert und daher auch die entsprechende Summandenfolge gegen $0\,$ streben muss. Prüft man letztgenanntes halt zuerst, so erkennt man dies, weil
$$\left|\frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{n}}\right|^{n^{1.5}} \le \left|\frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{n}}\right|^{n} \;\text{(beachte: }0 \le {\sqrt{n} \over 1+\sqrt{n}} \le 1 \text{ für alle }n\text{)}$$
und
$$\left|\frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{n}}\right|^{n} = \left({1 \over \left(1+{1 \over \sqrt{n}}\right)^{\sqrt{n}}}\right)^\sqrt{n}\,,$$
und nun ist die Folge
$$\left(\left(1+{1 \over \sqrt{n}}\right)^{\sqrt{n}}\right)_{n \in \IN}$$
(streng) monoton wachsend gegen $e > 2\,$, also ist ab einem gewissen Index jedes Folgeglied $\ge 2$ und damit folgt für alle genügend große $n\,$ die Abschätzung
$$\left|\frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{n}}\right|^{n} = \left({1 \over \left(1+{1 \over \sqrt{n}}\right)^{\sqrt{n}}}\right)^{\sqrt{n}} \le \left({1 \over 2}\right)^{\sqrt{n}} \to 0\,.$$
(Präziser: Wegen $(1+\;1/\sqrt{1})^{\sqrt{1}}=2$ gilt die letzte Abschätzung sogar für alle $n \in \IN_{\ge 1}\,.$)
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
