Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Mi 02.03.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | Überprüfen Sie die folgende Folgen auf Konvergenz. Bestimmen Sie für alle konvergenten Folgen den Grenzwert und zeigen Sie ggf. die Konvergenz gegen diesen Grenzwert. Sind die Folgen nicht konvergent, so geben Sie eine Begründung an.
[mm] \vec{d_{k}}= (\bruch{1}{\wurzel{k}},\bruch{k*ln(\pi k)+3k-1}{k^2}) [/mm] |
Hallo, also ich komm bei der Aufgabe irgendwie nicht weiter. Also der erste Wert geht ja gegen 0 für k gegen [mm] \infty [/mm] Und den zweiten Wert sieht man ja nich, denk ich mal. Und für Konvergenz muss man ja zeigen, dass [mm] |\vec{d_{k}}-\vektor{0 \\ k*ln(\pi k)+3k-1} [/mm] | Und wie macht man jetzt weiter?:O
Danke schon mal
Gruß David
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Hallo David,
> lltext des Artikels **
> Überprüfen Sie die folgende Folgen auf Konvergenz.
> Bestimmen Sie für alle konvergenten Folgen den Grenzwert
> und zeigen Sie ggf. die Konvergenz gegen diesen Grenzwert.
> Sind die Folgen nicht konvergent, so geben Sie eine
> Begründung an.
> [mm]\vec{d_{k}}= (\bruch{1}{\wurzel{k}},\bruch{k*ln(\pi k)+3k-1}{k^2})[/mm]
>
> Hallo, also ich komm bei der Aufgabe irgendwie nicht
> weiter. Also der erste Wert geht ja gegen 0 für k gegen
> [mm]\infty[/mm] Und den zweiten Wert sieht man ja nich, denk ich
> mal. Und für Konvergenz muss man ja zeigen, dass
> [mm]|\vec{d_{k}}-\vektor{0 \\
k*ln(\pi k)+3k-1}[/mm] |
Was ist denn da in dem großen Vektor passiert?
Die erste Komponente von [mm]\vec{d}_k[/mm], also [mm]\frac{1}{\sqrt{k}}[/mm] strebt gegen 0 für [mm]k\to\infty[/mm], das ist richtig.
Was macht denn die zweite Komponente?
Da ahst du den Nenner vollkommen ignoriert ..
Es strebt [mm]\frac{k\ln(\pi k)+3k-1}{k^2}[/mm] ebenfalls gegen 0.
Um das einzusehen, klammere im Zähler [mm]n^2[/mm] aus, kürze es weg und schaue, was für [mm]k\to\infty[/mm] passiert ...
Es bleibt also in der Norm [mm]||\vec{b}_k-\vektor{0\\
0}||=||\vektor{\frac{1}{\sqrt{k}}\\
\frac{k\ln(\pi k)+3k-1}{k^2}}||[/mm]
Aber das musst du ja eigentlich nicht mehr abschätzen, denn eine Folge im [mm] $\IR^n$ [/mm] konvergiert [mm] $\gdw$ [/mm] jede Komponente der Folge konvergiert (in [mm] $\IR$).
[/mm]
Und letzteres haben wir ja eben gezeigt (bzw. einen Teil musst du noch leisten  )
> Und wie macht
> man jetzt weiter?:O
> Danke schon mal
> Gruß David
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Mi 02.03.2011 | | Autor: | David90 |
Also obwohl wir gezeigt haben, dass die Folge komponentenkonvergent ist, muss ich jetzt noch die Norm ausrechnen ja? Also die Wurzel der Quadrate bilden...
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Hallo nochmal,
> Also obwohl wir gezeigt haben, dass die Folge
> komponentenkonvergent ist, muss ich jetzt noch die Norm
> ausrechnen ja? Also die Wurzel der Quadrate bilden...
Nein, ich hatte doch geschrieben, dass komponentenweise Konvergenz und Konvergenz bzgl. irgendeiner Norm im [mm] $\IR^n$ [/mm] äquivalent sind.
Insbesondere folgt aus der komponentenweisen Konvergenz also die Konvergenz der "Gesamtfolge"
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Mi 02.03.2011 | | Autor: | David90 |
Also ist gezeigt, dass sie konvergent ist. Jetzt müssen wir nur noch den Grenzwert bestimmen. Ist das nicht auch 0 weil ja beide Komponenten gegen 0 streben...
Gruß David
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Hallo David,
> Also ist gezeigt, dass sie konvergent ist. Jetzt müssen
> wir nur noch den Grenzwert bestimmen. Ist das nicht auch 0
> weil ja beide Komponenten gegen 0 streben...
Den GW haben wir doch bestimmt.
Die Folge strebt gegen [mm] $\vektor{0\\0}$ [/mm] ...
Gehe mal einen Schritt vor - runter vom Schlauch
> Gruß David
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:39 Mi 02.03.2011 | | Autor: | David90 |
Gut fertig:) Ich stells als Frage weil ich weiß, dass von dir noch ein Einwand kommt :D
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Hallo nochmal,
> Gut fertig:) Ich stells als Frage weil ich weiß, dass von
> dir noch ein Einwand kommt :D
Bin ich so garstig?
Schreib's nur alles schön auf, wenn du's abgeben musst ...
Gruß und noch nen schönen Restabend
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 Mi 02.03.2011 | | Autor: | David90 |
Ach quatsch :D war nur n bisschen irritiert weil du bei deiner ersten Antwort geschrieben hast : "bzw. einen Teil musst du noch leisten" weil die Komponentenkonvergenz haben wir gezeigt und somit auch die Kovergenz der Gesamtfolge und den Grenzwert haben wir auch bestimmt. Deswegen war die Aufgabe doch gelöst oder?:)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 Mi 02.03.2011 | | Autor: | David90 |
Sollte ne Frage sein XD
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Hi nochmal,
> Ach quatsch :D war nur n bisschen irritiert weil du bei
> deiner ersten Antwort geschrieben hast : "bzw. einen Teil
> musst du noch leisten"
Ahso, das bezog sich nur darauf, dass du für dich und deinen Korrektor auch zeigen sollst, dass die zweite Komponente gegn 0 geht.
Den Weg hatte ich gezeigt, aber die Rechnung und damit der konkrete Nachweis liegt bei dir
Das ist zwar nicht schwer, aber auch nicht so trivial, als dass der Korrektor dir die Aussage:
"Zweite Komponentenfolge geht gegen 0" so ohne weiteres abnimmt
> weil die Komponentenkonvergenz haben
> wir gezeigt und somit auch die Kovergenz der Gesamtfolge
> und den Grenzwert haben wir auch bestimmt. Deswegen war die
> Aufgabe doch gelöst oder?:)
Ahoi!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 Mi 02.03.2011 | | Autor: | David90 |
achso verstehe:) ja hab ich schon gezeigt:) danke dir nochmal:) auch noch nen schönen Restabend^^
Gruß David
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Do 03.03.2011 | | Autor: | David90 |
Mir ist aufgefallen, dass wir das nicht so zeigen sollen, mit der Komponentenkonvergenz. Wir sollen die Norm schon ausrechnen und das dann halt wieder eingrenzen. Aber wie berechnet man die Norm von so einem großen Term?:O
Gruß David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:03 Do 03.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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$ ||\vec{b}_k-\vektor{0\\ 0}||=||\vektor{\frac{1}{\sqrt{k}}\\ \frac{k\ln(\pi k)+3k-1}{k^2}}|| = \wurzel{\bruch{1}{k^2}+(\frac{k\ln(\pi k)+3k-1}{k^2}})^2}$
Edit : da ist ein Quadrat zuviel.
Richtig: $ ||\vec{b}_k-\vektor{0\\ 0}||=||\vektor{\frac{1}{\sqrt{k}}\\ \frac{k\ln(\pi k)+3k-1}{k^2}}|| = \wurzel{\bruch{1}{k}+(\frac{k\ln(\pi k)+3k-1}{k^2}})^2}$
Dass \frac{k\ln(\pi k)+3k-1}{k^2} gegen 0 geht wurde oben schon geklärt
FRED
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