Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Für jedes [mm] n\in\IN [/mm] sei die Funktion [mm] f_{n}:\IR\to\IR [/mm] mit [mm] D(f_{n})= [0,\infty) [/mm] und [mm] f_{n}(x)=\bruch{e^{-nx}}{n^{2}}.
[/mm]
a) Zeigen Sie, daß die Funktionenreihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] auf [mm] [0,\infty) [/mm] punktweise und gleichm¨aßig konvergiert. |
Hallo,
für punktweise Konvergenz: [mm] f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{\infty}f_{n}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{e^{-nx}}{n^{2}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{2}}*\bruch{1}{e^{nx}}=0
[/mm]
--> punktweise konvergent auf [mm] I=[0,\infty)
[/mm]
Gleichmäßige Konvergenz: [mm] |f_{n}(x)-f(x)| \le a_{n}
[/mm]
[mm] |\bruch{e^{-nx}}{n^{2}}-0| \le a_{n}
[/mm]
[mm] |\bruch{e^{-nx}}{n^{2}}| \le \bruch{1}{n^{2}} [/mm] = [mm] a_{n}
[/mm]
Und damit ist die Folge gleichmäßige konvergent.
Korrekt?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:30 Di 12.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Für jedes [mm]n\in\IN[/mm] sei die Funktion [mm]f_{n}:\IR\to\IR[/mm] mit
> [mm]D(f_{n})= [0,\infty)[/mm] und [mm]f_{n}(x)=\bruch{e^{-nx}}{n^{2}}.[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, daß die Funktionenreihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] auf [mm][0,\infty)[/mm] punktweise und
> gleichm¨aßig konvergiert.
> Hallo,
>
> für punktweise Konvergenz:
> [mm]f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{\infty}f_{n}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{e^{-nx}}{n^{2}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{2}}*\bruch{1}{e^{nx}}=0[/mm]
Das ist totaler Unfug:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{2}}*\bruch{1}{e^{nx}}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] vor [mm] \summe_{n=1}^{\infty}
[/mm]
was soll das denn sein ????
Du weißt offensichtlich nicht, was eine Funktionenreihe ist und was Konvergenz, etc ... solcher Reihen bedeutet.
Also mach Dich schlau.
Tipp für die Aufgabe: Majorantenkriterium von Weierstraß.
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Weierstraßscher_M-Test
FRED
>
> --> punktweise konvergent auf [mm]I=[0,\infty)[/mm]
>
>
> Gleichmäßige Konvergenz: [mm]|f_{n}(x)-f(x)| \le a_{n}[/mm]
>
> [mm]|\bruch{e^{-nx}}{n^{2}}-0| \le a_{n}[/mm]
>
> [mm]|\bruch{e^{-nx}}{n^{2}}| \le \bruch{1}{n^{2}}[/mm] = [mm]a_{n}[/mm]
>
> Und damit ist die Folge gleichmäßige konvergent.
>
> Korrekt?
|
|
|
| |
|
> > Für jedes [mm]n\in\IN[/mm] sei die Funktion [mm]f_{n}:\IR\to\IR[/mm] mit
> > [mm]D(f_{n})= [0,\infty)[/mm] und [mm]f_{n}(x)=\bruch{e^{-nx}}{n^{2}}.[/mm]
> >
> > a) Zeigen Sie, daß die Funktionenreihe
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] auf [mm][0,\infty)[/mm] punktweise und
> > gleichm¨aßig konvergiert.
> > Hallo,
> >
> > für punktweise Konvergenz:
> >
> [mm]f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{\infty}f_{n}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{e^{-nx}}{n^{2}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{2}}*\bruch{1}{e^{nx}}=0[/mm]
>
> Das ist totaler Unfug:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{2}}*\bruch{1}{e^{nx}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] vor [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm]
>
[mm] f(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{-nx}}{n^{2}}=\summe_{n=1}^{\infty}\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n^{2}}*\bruch{1}{e^{nx}}=0
[/mm]
So jetzt aber. Korrekt oder meintest du, dass der Ansatz falsch ist?
> was soll das denn sein ????
> Du weißt offensichtlich nicht, was eine Funktionenreihe
> ist und was Konvergenz, etc ... solcher Reihen bedeutet.
>
>
> Also mach Dich schlau.
>
> Tipp für die Aufgabe: Majorantenkriterium von
> Weierstraß.
>
> [mm]http://de.wikipedia.org/wiki/Weierstraßscher_M-Test[/mm]
>
>
> FRED
> >
> > --> punktweise konvergent auf [mm]I=[0,\infty)[/mm]
> >
> >
> > Gleichmäßige Konvergenz: [mm]|f_{n}(x)-f(x)| \le a_{n}[/mm]
> >
> > [mm]|\bruch{e^{-nx}}{n^{2}}-0| \le a_{n}[/mm]
> >
> > [mm]|\bruch{e^{-nx}}{n^{2}}| \le \bruch{1}{n^{2}}[/mm] = [mm]a_{n}[/mm]
> >
> > Und damit ist die Folge gleichmäßige konvergent.
> >
> > Korrekt?
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 Di 12.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > Für jedes [mm]n\in\IN[/mm] sei die Funktion [mm]f_{n}:\IR\to\IR[/mm] mit
> > > [mm]D(f_{n})= [0,\infty)[/mm] und [mm]f_{n}(x)=\bruch{e^{-nx}}{n^{2}}.[/mm]
> > >
> > > a) Zeigen Sie, daß die Funktionenreihe
> > > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] auf [mm][0,\infty)[/mm] punktweise und
> > > gleichm¨aßig konvergiert.
> > > Hallo,
> > >
> > > für punktweise Konvergenz:
> > >
> >
> [mm]f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{\infty}f_{n}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{e^{-nx}}{n^{2}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{2}}*\bruch{1}{e^{nx}}=0[/mm]
> >
> > Das ist totaler Unfug:
> >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{2}}*\bruch{1}{e^{nx}}[/mm]
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] vor [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm]
> >
>
>
> [mm]f(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{-nx}}{n^{2}}=\summe_{n=1}^{\infty}\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n^{2}}*\bruch{1}{e^{nx}}=0[/mm]
>
> So jetzt aber. Korrekt
Nein.
> oder meintest du, dass der Ansatz
> falsch ist?
Ja, er ist völlig unsinnig.
Bei einer Funktionenreihe [mm] \sum f_n [/mm] betrachtet man die Funktionenfolge [mm] (s_n), [/mm] wobei
[mm] s_n(x) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}f_i(x)
[/mm]
FRED
>
>
>
> > was soll das denn sein ????
> > Du weißt offensichtlich nicht, was eine
> Funktionenreihe
> > ist und was Konvergenz, etc ... solcher Reihen bedeutet.
> >
> >
> > Also mach Dich schlau.
> >
> > Tipp für die Aufgabe: Majorantenkriterium von
> > Weierstraß.
> >
> > [mm]http://de.wikipedia.org/wiki/Weierstraßscher_M-Test[/mm]
> >
> >
> > FRED
> > >
> > > --> punktweise konvergent auf [mm]I=[0,\infty)[/mm]
> > >
> > >
> > > Gleichmäßige Konvergenz: [mm]|f_{n}(x)-f(x)| \le a_{n}[/mm]
> >
> >
> > > [mm]|\bruch{e^{-nx}}{n^{2}}-0| \le a_{n}[/mm]
> > >
> > > [mm]|\bruch{e^{-nx}}{n^{2}}| \le \bruch{1}{n^{2}}[/mm] = [mm]a_{n}[/mm]
> > >
> > > Und damit ist die Folge gleichmäßige konvergent.
> > >
> > > Korrekt?
> >
>
|
|
|
|
